Wie sieht ein erweiterter Würfel aus? Vierdimensionaler Würfel

Hypercube und platonische Festkörper

Simulieren Sie ein abgeschnittenes Ikosaeder ("Fußball") im Vektorsystem
in dem jedes Fünfeck durch Sechsecke begrenzt ist

Verkürztes Ikosaeder kann erhalten werden, indem 12 Eckpunkte abgeschnitten werden, um Flächen in Form von regelmäßigen Fünfecken zu bilden. In diesem Fall erhöht sich die Anzahl der Eckpunkte des neuen Polyeders um das Fünffache (12 × 5 \u003d 60), 20 dreieckige Flächen werden zu regelmäßigen Sechsecken (insgesamt) gesichter werden 20 + 12 \u003d 32), und die Anzahl der Kanten erhöht sich auf 30 + 12 × 5 \u003d 90.

Schritte zum Erstellen eines abgeschnittenen Ikosaeders im Vektorsystem

Formen im 4-dimensionalen Raum.

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Zum Beispiel mit einem Würfel und einem Hyperwürfel. Ein Hyperwürfel enthält 24 Gesichter. Dies bedeutet, dass ein 4-dimensionales Oktaeder 24 Eckpunkte hat. Obwohl nein, hat ein Hyperwürfel 8 Würfelflächen - jedes Zentrum hat einen Scheitelpunkt. Dies bedeutet, dass ein 4-dimensionales Oktaeder 8 Eckpunkte hat, die einfacher sind.

4-dimensionales Oktaeder... Es besteht aus acht gleichseitigen und gleichen Tetraedern.
verbunden durch vier an jedem Scheitelpunkt.

Zahl: Versuch zu simulieren
Hypersphäre-Hypersphäre im "Vektor" -System

Vorder- und Rückseite - Kugeln ohne Verzerrung. Sechs weitere Kugeln - Sie können durch Ellipsoide oder quadratische Flächen (durch 4 Konturlinien als Generatoren) oder durch Flächen (zuerst durch Generatoren angegeben) angeben.

Weitere Tricks, um eine Hypersphäre zu "bauen"
- der gleiche "Fußball" im 4-dimensionalen Raum

Anlage 2

Für konvexe Polyeder gibt es eine Eigenschaft, die die Anzahl ihrer Eckpunkte, Kanten und Flächen verbindet, die 1752 von Leonard Euler bewiesen und als Eulers Theorem bezeichnet wurde.

Betrachten Sie vor der Formulierung die uns bekannten Polytope und füllen Sie die folgende Tabelle aus, in der B die Anzahl der Eckpunkte, P die Kanten und G die Flächen eines bestimmten Polytops ist:

Aus dieser Tabelle ist direkt ersichtlich, dass für alle ausgewählten Polytope die Gleichheit B - P + Γ \u003d 2 gilt. Es stellt sich heraus, dass diese Gleichheit nicht nur für diese Polyeder gilt, sondern auch für ein beliebiges konvexes Polyeder.

Eulers Satz. Für jedes konvexe Polytop gilt die Gleichheit

B - R + G \u003d 2,

dabei ist B die Anzahl der Eckpunkte, P die Anzahl der Kanten und G die Anzahl der Flächen eines bestimmten Polyeders.

Beweise.Um diese Gleichheit zu beweisen, stellen wir die Oberfläche eines bestimmten Polyeders aus einem elastischen Material dar. Lassen Sie uns eine seiner Flächen löschen (ausschneiden) und die verbleibende Fläche in einer Ebene strecken. Wir erhalten ein Polygon (gebildet durch die Kanten der entfernten Fläche des Polyeders), unterteilt in kleinere Polygone (gebildet durch die anderen Flächen des Polyeders).

Beachten Sie, dass Polygone an ihren Seiten deformiert, vergrößert, verkleinert oder sogar gekrümmt werden können, solange die Seiten nicht brechen. Die Anzahl der Scheitelpunkte, Kanten und Flächen wird dadurch nicht geändert.

Beweisen wir, dass für die resultierende Aufteilung eines Polygons in kleinere Polygone die Gleichheit gilt

(*) B - R + G \u003d 1,

dabei ist В die Gesamtzahl der Eckpunkte, Р die Gesamtzahl der Kanten und Г "die Anzahl der in der Partition enthaltenen Polygone. Es ist klar, dass Г" \u003d Г - 1 ist, wobei Г die Anzahl der Flächen eines bestimmten Polyeders ist.

Beweisen wir, dass sich die Gleichheit (*) nicht ändert, wenn in einem Polygon der gegebenen Partition eine Diagonale gezeichnet wird (Abb. 5, a). In der Tat enthält die neue Partition nach dem Zeichnen einer solchen Diagonale B Eckpunkte, P + 1 Kanten und die Anzahl der Polygone erhöht sich um eins. Deshalb haben wir

B - (P + 1) + (G +1) \u003d B - P + G .

Mit dieser Eigenschaft zeichnen wir Diagonalen, die die eingehenden Polygone in Dreiecke unterteilen, und für die resultierende Partition zeigen wir, dass die Gleichheit (*) erfüllt ist (Abb. 5, b). Dazu entfernen wir konsequent die Außenkanten, wodurch die Anzahl der Dreiecke verringert wird. In diesem Fall sind zwei Fälle möglich:

a) um das Dreieck zu entfernen ABC In unserem Fall müssen zwei Kanten entfernt werden AB und BC;

b) um das Dreieck zu entfernenMKN In unserem Fall müssen Sie eine Kante entfernenMN.

In beiden Fällen ändert sich die Gleichheit (*) nicht. Im ersten Fall besteht der Graph nach dem Löschen des Dreiecks beispielsweise aus B - 1 Eckpunkten, P - 2 Kanten und G "- 1 Polygon:

(B - 1) - (P + 2) + (G - 1) \u003d B - P + G ".

Betrachten Sie den zweiten Fall alleine.

Das Entfernen eines Dreiecks ändert also nichts an der Gleichheit (*). Wenn wir diesen Prozess des Entfernens von Dreiecken fortsetzen, werden wir schließlich zu einer Kachelung kommen, die aus einem Dreieck besteht. Für eine solche Partition ist B \u003d 3, P \u003d 3, Γ "\u003d 1 und daher B - P + Γ" \u003d 1. Daher gilt Gleichheit (*) für die ursprüngliche Partition, woraus wir schließlich die für eine gegebene Partition des Polygons erhalten Gleichheit (*) ist wahr. Somit ist für das ursprüngliche konvexe Polytop die Gleichheit B - P + Γ \u003d 2 wahr.

Ein Beispiel für ein Polyeder, für das Eulers Beziehung nicht gilt, Dieses Polyeder hat 16 Eckpunkte, 32 Kanten und 16 Flächen. Somit gilt für dieses Polyeder die Gleichheit B - P + Γ \u003d 0.

Anhang 3.

Film Cube 2: Hypercube "(dt. Cube 2: Hypercube) - Science-Fiction-Film, die Fortsetzung des Films" Cube ".

Acht Fremde wachen in würfelförmigen Räumen auf. Die Räume befinden sich in einem vierdimensionalen Hyperwürfel. Räume bewegen sich ständig durch "Quantenteleportation", und wenn Sie in den nächsten Raum klettern, ist eine Rückkehr zum alten bereits unwahrscheinlich. In einem Hyperwürfel kreuzen sich parallele Welten, die Zeit fließt in einigen Räumen auf unterschiedliche Weise und einige Räume sind Todesfallen.

In Bezug auf die Handlung wiederholt das Bild weitgehend die Geschichte des ersten Teils, was sich auch in den Bildern einiger Charaktere widerspiegelt. Der Nobelpreisträger Rosenzweig, der den genauen Zeitpunkt der Zerstörung des Hyperwürfels berechnet hat, stirbt in den Räumen des Hyperwürfels.

Kritik

Wenn im ersten Teil Menschen, die in einem Labyrinth eingesperrt sind, versuchen, sich gegenseitig zu helfen, ist es in diesem Film jeder für sich. Es gibt viele unnötige Spezialeffekte (sie sind auch Fallen), die diesen Teil des Films nicht logisch mit dem vorherigen verbinden. Das heißt, der Film Cube 2 stellt sich heraus - dies ist eine Art Labyrinth der Zukunft 2020-2030, aber nicht 2000. Im ersten Teil können alle Arten von Fallen theoretisch von einer Person erstellt werden. Im zweiten Teil handelt es sich bei diesen Fallen um ein Computerprogramm, die sogenannte "virtuelle Realität".

Sobald ich nach der Operation Vorlesungen halten konnte, stellte die erste Frage der Studenten:

Wann zeichnen Sie einen 4-dimensionalen Würfel für uns? Ilyas Abdulkhaevich hat es uns versprochen!

Ich erinnere mich, dass meine lieben Freunde manchmal einen Moment des mathematischen Bildungsprogramms mögen. Deshalb werde ich hier einen Teil meiner Vorlesung für Mathematiker schreiben. Und ich werde es ohne Langeweile versuchen. An einigen Stellen habe ich die Vorlesung natürlich strenger gelesen.

Lassen Sie uns zuerst zustimmen. 4-dimensionaler und noch mehr 5-6-7- und allgemein k-dimensionaler Raum wird uns in sensorischen Empfindungen nicht gegeben.
"Wir sind unglücklich, weil wir nur dreidimensional sind", sagte mein Sonntagsschullehrer, der mir als erster sagte, was ein vierdimensionaler Würfel ist. Die Sonntagsschule war natürlich äußerst religiös - Mathematik. Diesmal haben wir Hyperwürfel untersucht. Eine Woche zuvor, mathematische Induktion, eine Woche danach, Hamilton-Zyklen in Graphen - dies ist Klasse 7.

Wir können einen 4-dimensionalen Würfel nicht berühren, riechen, hören oder sehen. Was können wir damit machen? Wir können es uns vorstellen! Weil unser Gehirn viel komplexer ist als unsere Augen und Hände.

Um zu verstehen, was ein 4-dimensionaler Würfel ist, verstehen wir zunächst, was uns zur Verfügung steht. Was ist ein dreidimensionaler Würfel?

OK OK! Ich bitte Sie nicht um eine klare mathematische Definition. Stellen Sie sich den einfachsten und gebräuchlichsten dreidimensionalen Würfel vor. Hast du präsentiert?

Gut.
Um zu verstehen, wie ein dreidimensionaler Würfel in einen vierdimensionalen Raum verallgemeinert wird, wollen wir herausfinden, was ein zweidimensionaler Würfel ist. Es ist so einfach - es ist ein Quadrat!

Das Quadrat hat 2 Koordinaten. Der Würfel hat drei. Punkte eines Quadrats sind Punkte mit zwei Koordinaten. Der erste ist von 0 bis 1. Und der zweite ist von 0 bis 1. Die Punkte des Würfels haben drei Koordinaten. Und jede ist eine beliebige Zahl von 0 bis 1.

Es ist logisch, sich vorzustellen, dass ein 4-dimensionaler Würfel so etwas mit 4 Koordinaten und allem von 0 bis 1 ist.

/ * Es ist auch logisch, sich einen eindimensionalen Würfel vorzustellen, der nichts weiter als ein einfaches Segment von 0 bis 1 ist. * /

Also, hör auf, wie zeichnest du einen 4-dimensionalen Würfel? Schließlich können wir keinen 4-dimensionalen Raum auf einer Ebene zeichnen!
Wir zeichnen aber auch keinen dreidimensionalen Raum auf einer Ebene, wir zeichnen ihn projektion auf die zweidimensionale Ebene der Zeichnung. Wir platzieren die dritte Koordinate (z) in einem Winkel und stellen uns vor, dass die Achse von der Zeichnungsebene "auf uns zu" geht.

Jetzt ist es ziemlich klar, wie man einen 4-dimensionalen Würfel zeichnet. Genauso wie wir die dritte Achse in einem bestimmten Winkel platziert haben, nehmen Sie die vierte Achse und positionieren Sie sie auch in einem bestimmten Winkel.
Und voila! - Projektion eines 4-dimensionalen Würfels auf eine Ebene.

Was? Was ist das überhaupt? Ich höre immer ein Flüstern von den hinteren Schreibtischen. Lassen Sie mich genauer erklären, was dieses Durcheinander von Linien ist.
Schauen Sie sich zuerst den 3D-Würfel an. Was haben wir getan? Wir nahmen ein Quadrat und zogen es entlang der dritten Achse (z). Es ist wie viele, viele Papierquadrate, die zu einem Stapel zusammengeklebt sind.
Bei einem 4-dimensionalen Würfel ist es genauso. Nennen wir die vierte Achse der Einfachheit halber und für Science-Fiction die "Zeitachse". Wir müssen einen gewöhnlichen dreidimensionalen Würfel nehmen und ihn von Zeit "jetzt" zu Zeit "in einer Stunde" zeitlich ziehen.

Wir haben jetzt einen Würfel. Es ist rosa auf dem Bild.

Und jetzt ziehen wir es entlang der vierten Achse - entlang der Zeitachse (ich habe es grün gezeigt). Und wir bekommen den Würfel der Zukunft - blau.

Jeder Scheitelpunkt des "Jetzt-Würfels" hinterlässt eine zeitliche Spur - ein Segment. Ihre Gegenwart mit ihrer Zukunft verbinden.

Kurz gesagt, ohne Text: Wir haben zwei identische dreidimensionale Würfel gezeichnet und die entsprechenden Eckpunkte verbunden.
Genauso wie beim dreidimensionalen Würfel (2 identische zweidimensionale Würfel zeichnen und die Eckpunkte verbinden).

Um einen 5-dimensionalen Würfel zu zeichnen, müssen Sie zwei Kopien des 4-dimensionalen Würfels zeichnen (einen 4-dimensionalen Würfel mit einer fünften Koordinate 0 und einen 4-dimensionalen Würfel mit einer fünften Koordinate 1) und die entsprechenden Scheitelpunkte mit Kanten verbinden. Es ist wahr, dass ein solches Durcheinander von Kanten in der Ebene herauskommt, dass es fast unmöglich ist, etwas zu verstehen.

Wenn wir uns einen 4-dimensionalen Würfel vorgestellt und es sogar geschafft haben, ihn zu zeichnen, können wir ihn auf jede Art und Weise erkunden. Vergessen Sie nicht, es sowohl im Kopf als auch im Bild zu erforschen.
Beispielsweise. Ein zweidimensionaler Würfel wird an vier Seiten von eindimensionalen Würfeln begrenzt. Dies ist logisch: Für jede der beiden Koordinaten gibt es sowohl einen Anfang als auch ein Ende.
Ein dreidimensionaler Würfel wird an 6 Seiten von zweidimensionalen Würfeln begrenzt. Für jede der drei Koordinaten hat es einen Anfang und ein Ende.
Dies bedeutet, dass ein 4-dimensionaler Würfel auf acht 3-dimensionale Würfel begrenzt werden muss. Auf jeder der 4 Koordinaten - auf beiden Seiten. Im Bild oben sehen wir deutlich 2 Gesichter, die es entlang der "Zeit" -Koordinate begrenzen.

Hier sind zwei Würfel (sie sind leicht schräg, weil sie zwei Dimensionen haben, die in einem Winkel auf eine Ebene projiziert werden), die unseren Hyperwürfel nach links und rechts begrenzen.

Es ist auch leicht, die "oben" und "unten" zu bemerken.

Am schwierigsten ist es, visuell zu verstehen, wo sich "vorne" und "hinten" befinden. Die Vorderseite beginnt von der Vorderseite des "Jetztwürfels" und von der Vorderseite des "Zukunftswürfels" - sie ist rot. Hinten jeweils lila.

Sie sind am schwersten zu erkennen, da sich andere Würfel unter Ihren Füßen verheddern und den Hyperwürfel in einer anderen projizierten Koordinate einschränken. Beachten Sie jedoch, dass die Würfel immer noch unterschiedlich sind! Hier ist ein weiteres Bild mit dem hervorgehobenen "Jetzt-Würfel" und dem "Zukünftigen Würfel".

Natürlich können Sie einen 4-dimensionalen Würfel in den 3-dimensionalen Raum projizieren.
Das erste mögliche räumliche Modell ist klar, wie es aussieht: Sie müssen 2 Würfelskelette nehmen und ihre jeweiligen Eckpunkte mit einer neuen Kante verbinden.
Ich habe jetzt kein solches Modell. In der Vorlesung zeige ich den Studenten ein etwas anderes dreidimensionales Modell eines vierdimensionalen Würfels.

Sie wissen, wie ein Würfel auf eine solche Ebene projiziert wird.
Als ob wir einen Würfel von oben betrachten.

Die nächste Linie ist natürlich groß. Und die hintere Kante sieht kleiner aus, wir sehen sie durch die nahe.

So können Sie einen 4-dimensionalen Würfel projizieren. Der Würfel ist jetzt größer, wir sehen den Würfel der Zukunft in der Ferne, also sieht er kleiner aus.

Andererseits. Von der Seite der Oberseite.

Direkt von der Seite des Gesichts:

Von der Seite der Rippe:

Und der letzte Winkel asymmetrisch. Aus dem Abschnitt "Du sagst mir auch, dass ich zwischen seine Rippen geschaut habe."

Dann können Sie sich alles einfallen lassen. Wie bei der Entwicklung eines dreidimensionalen Würfels in einer Ebene (so müssen Sie beispielsweise ein Blatt Papier ausschneiden, um beim Falten einen Würfel zu erhalten) wird auch ein vierdimensionaler Würfel in den Raum gescannt. Es ist, als würde man ein Stück Holz ausschneiden, so dass wir durch Falten im 4-dimensionalen Raum einen Tesserakt erhalten.

Sie können nicht nur einen 4-dimensionalen Würfel untersuchen, sondern im Allgemeinen n-dimensionale Würfel. Stimmt es beispielsweise, dass der Radius einer Kugel, die um einen n-dimensionalen Würfel herum umschrieben ist, kleiner ist als die Länge der Kante dieses Würfels? Oder hier ist eine einfachere Frage: Wie viele Eckpunkte hat ein n-dimensionaler Würfel? Wie viele Kanten (eindimensionale Flächen)?

Wenn Sie ein Fan der Avengers-Filme sind, fällt Ihnen als Erstes das Wort "Tesseract" ein, wenn Sie das transparente, würfelförmige Gefäß des Infinity Stone mit grenzenloser Kraft hören.

Für Fans des Marvel-Universums ist der Tesseract ein leuchtend blauer Würfel, der Menschen nicht nur von der Erde, sondern auch von anderen Planeten verrückt macht. Deshalb haben sich alle Rächer zusammengeschlossen, um die Erdlinge vor den äußerst zerstörerischen Kräften des Tesseract zu schützen.

Folgendes muss jedoch gesagt werden: Der Tesseract ist ein tatsächliches geometrisches Konzept oder vielmehr eine Form, die in 4D existiert. Dies ist nicht nur ein blauer Würfel der Avengers ... es ist ein echtes Konzept.

Tesseract ist ein Objekt in 4 Dimensionen. Aber bevor wir es im Detail erklären, fangen wir von vorne an.

Was ist Dimension?

Jeder hat die Begriffe 2D und 3D gehört, die jeweils zweidimensionale oder dreidimensionale Objekte im Raum darstellen. Aber was sind das?

Messung ist einfach die Richtung, in die Sie gehen können. Wenn Sie beispielsweise eine Linie auf ein Blatt Papier zeichnen, können Sie entweder nach links / rechts (x-Achse) oder nach oben / unten (y-Achse) gehen. Wir sagen also, dass das Papier zweidimensional ist, da Sie nur in zwei Richtungen gehen können.

In 3D herrscht ein Gefühl von Tiefe.

In der realen Welt können Sie neben den beiden oben genannten Richtungen (links / rechts und oben / unten) auch zu / von gehen. Daher wird im 3D-Raum ein Gefühl von Tiefe hinzugefügt. Deshalb sagen wir, dass das wirkliche Leben dreidimensional ist.

Ein Punkt kann 0 Dimensionen darstellen (da er sich in keine Richtung bewegt), eine Linie repräsentiert 1 Dimension (Länge), ein Quadrat repräsentiert 2 Dimensionen (Länge und Breite) und ein Würfel repräsentiert 3 Dimensionen (Länge, Breite und Höhe).

Nehmen Sie einen 3D-Würfel und ersetzen Sie jede seiner Flächen (die derzeit ein Quadrat ist) durch einen Würfel. Und so! Die Form, die Sie erhalten, ist der Tesserakt.

Was ist ein Tesseract?

Einfach ausgedrückt ist ein Tesserakt ein Würfel im 4-dimensionalen Raum. Man kann auch sagen, dass es sich um ein 4D-Analogon eines Würfels handelt. Es ist eine 4D-Form, bei der jede Fläche ein Würfel ist.

Hier ist eine einfache Möglichkeit, Dimensionen zu konzipieren: Ein Quadrat ist zweidimensional; Daher hat jede seiner Ecken zwei Linien, die sich in einem Winkel von 90 Grad zueinander erstrecken. Der Würfel ist 3D, daher hat jede seiner Ecken 3 Linien, die von ihm absteigen. Ebenso ist der Tesseract eine 4D-Form, sodass sich an jeder Ecke 4 Linien erstrecken.

Warum ist es schwierig, sich einen Tesserakt vorzustellen?

Da wir uns als Menschen weiterentwickelt haben, um Objekte in drei Dimensionen zu visualisieren, macht alles, was in zusätzliche Dimensionen wie 4D, 5D, 6D usw. geht, für uns wenig Sinn, weil wir sie überhaupt nicht haben können. vorstellen. Unser Gehirn kann die 4. Dimension im Raum nicht verstehen. Wir können einfach nicht darüber nachdenken.

Tesseract - vierdimensionaler Hyperwürfel - ein Würfel im vierdimensionalen Raum.
Nach dem Oxford Dictionary wurde Tesseract 1888 von Charles Howard Hinton (1853-1907) in seinem Buch A New Age of Thought geprägt und verwendet. Später nannten einige Leute dieselbe Figur einen Tetracube (griechisch τετρα - vier) - einen vierdimensionalen Würfel.
Ein gewöhnlicher Tesserakt im euklidischen vierdimensionalen Raum ist definiert als die konvexe Hülle von Punkten (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Mit anderen Worten, es kann wie folgt dargestellt werden:
[-1, 1] ^ 4 \u003d ((x_1, x_2, x_3, x_4): -1 \u003d Der Tesserakt wird durch acht Hyperebenen begrenzt x_i \u003d + - 1, i \u003d 1,2,3,4, deren Schnittpunkt mit dem Tesserakt selbst ihn definiert 3D-Flächen (gewöhnliche Würfel) Jedes Paar nicht paralleler 3D-Flächen schneidet sich, um 2D-Flächen (Quadrate) usw. zu bilden. Schließlich hat ein Tesseract 8 3D-Flächen, 24 2D-Flächen, 32 Kanten und 16 Eckpunkte.
Beliebte Beschreibung
Versuchen wir uns vorzustellen, wie der Hyperwürfel aussehen wird, ohne den dreidimensionalen Raum zu verlassen.
Wählen Sie im eindimensionalen "Raum" - auf einer Linie - ein Segment AB der Länge L aus. Zeichnen Sie auf einer zweidimensionalen Ebene in einem Abstand L von AB ein Segment DC parallel dazu und verbinden Sie ihre Enden. Das Ergebnis ist eine quadratische CDBA. Wenn wir diesen Vorgang mit der Ebene wiederholen, erhalten wir einen dreidimensionalen Würfel CDBAGHFE. Wenn wir den Würfel in der vierten Dimension (senkrecht zu den ersten drei) um einen Abstand L verschieben, erhalten wir den Hyperwürfel CDBAGHFEKLJIOPNM.
Das eindimensionale Segment AB ist die Seite des zweidimensionalen Quadrats CDBA, das Quadrat ist die Seite des Würfels CDBAGHFE, der wiederum die Seite des vierdimensionalen Hyperwürfels sein wird. Ein gerades Liniensegment hat zwei Grenzpunkte, ein Quadrat hat vier Eckpunkte und ein Würfel hat acht. In einem vierdimensionalen Hyperwürfel gibt es also 16 Eckpunkte: 8 Eckpunkte des ursprünglichen Würfels und 8 in der vierten Dimension verschoben. Es hat 32 Kanten - 12 geben jeweils die Anfangs- und Endposition des ursprünglichen Würfels an, und 8 weitere Kanten "zeichnen" acht seiner Eckpunkte, die in die vierte Dimension verschoben wurden. Die gleiche Überlegung kann für die Gesichter des Hyperwürfels angestellt werden. Im zweidimensionalen Raum ist es eins (das Quadrat selbst), der Würfel hat 6 davon (zwei Flächen vom bewegten Quadrat und vier weitere beschreiben seine Seiten). Ein vierdimensionaler Hyperwürfel hat 24 quadratische Flächen - 12 Quadrate des ursprünglichen Würfels in zwei Positionen und 12 Quadrate von seinen zwölf Kanten.
Da die Seiten eines Quadrats 4 eindimensionale Segmente sind und die Seiten (Flächen) eines Würfels 6 zweidimensionale Quadrate sind, sind die Seiten eines "vierdimensionalen Würfels" (Tesseract) 8 dreidimensionale Würfel. Die Räume gegenüberliegender Paare von Tesseract-Würfeln (dh die dreidimensionalen Räume, zu denen diese Würfel gehören) sind parallel. In der Abbildung sind dies Würfel: CDBAGHFE und KLJIOPNM, CDBAKLJI und GHFEOPNM, EFBAMNJI und GHDCOPLK, CKIAGOME und DLJBHPNF.
In ähnlicher Weise können wir die Argumentation für Hyperwürfel mit einer größeren Anzahl von Dimensionen fortsetzen, aber es ist viel interessanter zu sehen, wie ein vierdimensionaler Hyperwürfel für uns Bewohner des dreidimensionalen Raums aussehen wird. Verwenden wir hierfür die bekannte Analogiemethode.
Nehmen Sie einen Drahtwürfel ABCDHEFG und betrachten Sie ihn mit einem Auge von der Seite des Gesichts. Wir werden zwei Quadrate in der Ebene (ihre nahen und fernen Flächen) sehen und zeichnen können, die durch vier Linien verbunden sind - Seitenkanten. In ähnlicher Weise sieht ein vierdimensionaler Hyperwürfel im dreidimensionalen Raum aus wie zwei kubische "Kästchen", die ineinander eingefügt und durch acht Kanten verbunden sind. In diesem Fall werden die "Kästchen" selbst - dreidimensionale Flächen - auf "unseren" Raum projiziert, und die sie verbindenden Linien erstrecken sich in Richtung der vierten Achse. Sie können auch versuchen, sich einen Würfel nicht in Projektion, sondern in einem räumlichen Bild vorzustellen.
So wie ein dreidimensionaler Würfel durch ein um die Länge einer Fläche verschobenes Quadrat gebildet wird, bildet ein in die vierte Dimension verschobener Würfel einen Hyperwürfel. Es ist durch acht Würfel begrenzt, die in der Perspektive wie eine ziemlich komplexe Figur aussehen werden. Der gleiche vierdimensionale Hyperwürfel besteht aus einer unendlichen Anzahl von Würfeln, so wie ein dreidimensionaler Würfel in eine unendliche Anzahl von flachen Quadraten "geschnitten" werden kann.
Nachdem Sie die sechs Flächen eines dreidimensionalen Würfels geschnitten haben, können Sie ihn zu einer flachen Figur erweitern - einem Sweep. Auf jeder Seite des ursprünglichen Gesichts befindet sich ein Quadrat sowie auf der gegenüberliegenden Seite ein weiteres. Eine dreidimensionale Entfaltung eines vierdimensionalen Hyperwürfels besteht aus einem Anfangswürfel, aus dem sechs Würfel "wachsen", plus einem weiteren - dem endgültigen "Hyperface".
Tesseract-Eigenschaften sind die Fortsetzung der Eigenschaften von geometrischen Figuren niedrigerer Dimension in den vierdimensionalen Raum.

Ein Bild ist eine Projektion (Perspektive) eines vierdimensionalen Würfels auf den dreidimensionalen Raum.

Nach dem Oxford Dictionary wurde das Wort "Tesseract" 1888 von Charles Howard Hinton (1853-1907) in seinem Buch A New Age of Thought geprägt und verwendet. Später nannten einige Leute dieselbe Figur "Tetracube".

Geometrie

Ein gewöhnlicher Tesserakt im euklidischen vierdimensionalen Raum ist definiert als die konvexe Hülle von Punkten (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Mit anderen Worten, es kann wie folgt dargestellt werden:

Der Tesserakt wird von acht Hyperebenen begrenzt, deren Schnittpunkt mit dem Tesserakt selbst seine dreidimensionalen Flächen (die gewöhnliche Würfel sind) definiert. Jedes Paar nicht paralleler 3D-Flächen schneidet sich, um 2D-Flächen (Quadrate) usw. zu bilden. Schließlich hat der Tesseract 8 3D-Flächen, 24 2D-Flächen, 32 Kanten und 16 Eckpunkte.

Beliebte Beschreibung

Versuchen wir uns vorzustellen, wie der Hyperwürfel aussehen wird, ohne den dreidimensionalen Raum zu verlassen.

Wählen Sie im eindimensionalen "Raum" - auf einer Linie - ein Segment AB der Länge L aus. Zeichnen Sie auf einer zweidimensionalen Ebene in einem Abstand L von AB ein Segment DC parallel dazu und verbinden Sie ihre Enden. Das Ergebnis ist ein quadratisches ABCD. Wenn wir diesen Vorgang mit der Ebene wiederholen, erhalten wir einen dreidimensionalen Würfel ABCDHEFG. Und indem wir den Würfel in der vierten Dimension (senkrecht zu den ersten drei) um einen Abstand L verschieben, erhalten wir den Hyperwürfel ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Das eindimensionale Segment AB ist die Seite des zweidimensionalen Quadrats ABCD, das Quadrat ist die Seite des Würfels ABCDHEFG, der wiederum die Seite des vierdimensionalen Hyperwürfels sein wird. Ein gerades Liniensegment hat zwei Grenzpunkte, ein Quadrat hat vier Eckpunkte und ein Würfel hat acht. In einem vierdimensionalen Hyperwürfel gibt es also 16 Eckpunkte: 8 Eckpunkte des ursprünglichen Würfels und 8 in der vierten Dimension verschoben. Es hat 32 Kanten - 12 geben jeweils die Anfangs- und Endposition des ursprünglichen Würfels an, und 8 weitere Kanten "zeichnen" acht seiner Eckpunkte, die in die vierte Dimension verschoben wurden. Die gleiche Überlegung kann für die Gesichter des Hyperwürfels angestellt werden. Im zweidimensionalen Raum ist es eins (das Quadrat selbst), der Würfel hat 6 davon (zwei Flächen vom bewegten Quadrat und vier weitere beschreiben seine Seiten). Ein vierdimensionaler Hyperwürfel hat 24 quadratische Flächen - 12 Quadrate des ursprünglichen Würfels in zwei Positionen und 12 Quadrate von seinen zwölf Kanten.

In ähnlicher Weise können wir die Argumentation für Hyperwürfel mit einer größeren Anzahl von Dimensionen fortsetzen, aber es ist viel interessanter zu sehen, wie ein vierdimensionaler Hyperwürfel für uns Bewohner des dreidimensionalen Raums aussehen wird. Verwenden wir hierfür die bekannte Analogiemethode.

Den Tesserakt entfalten

Nehmen Sie einen Drahtwürfel ABCDHEFG und betrachten Sie ihn mit einem Auge von der Seite des Gesichts. Wir werden zwei Quadrate in der Ebene (ihre nahen und fernen Flächen) sehen und zeichnen können, die durch vier Linien verbunden sind - Seitenkanten. In ähnlicher Weise sieht ein vierdimensionaler Hyperwürfel im dreidimensionalen Raum aus wie zwei kubische "Kästchen", die ineinander eingefügt und durch acht Kanten verbunden sind. In diesem Fall werden die "Kästchen" selbst - dreidimensionale Flächen - auf "unseren" Raum projiziert, und die sie verbindenden Linien erstrecken sich in der vierten Dimension. Sie können auch versuchen, sich einen Würfel nicht in Projektion, sondern in einem räumlichen Bild vorzustellen.

So wie ein dreidimensionaler Würfel durch ein um die Länge einer Fläche verschobenes Quadrat gebildet wird, bildet ein in die vierte Dimension verschobener Würfel einen Hyperwürfel. Es ist durch acht Würfel begrenzt, die in der Perspektive wie eine ziemlich komplexe Figur aussehen werden. Der Teil davon, der in "unserem" Raum verblieben ist, ist mit durchgezogenen Linien gezeichnet, und der Teil, der in den Hyperraum gegangen ist, mit gepunkteten Linien. Der gleiche vierdimensionale Hyperwürfel besteht aus einer unendlichen Anzahl von Würfeln, so wie ein dreidimensionaler Würfel in eine unendliche Anzahl von flachen Quadraten "geschnitten" werden kann.

Nachdem Sie die sechs Flächen eines dreidimensionalen Würfels geschnitten haben, können Sie ihn zu einer flachen Figur erweitern - einem Sweep. Auf jeder Seite des ursprünglichen Gesichts befindet sich ein Quadrat sowie auf der gegenüberliegenden Seite ein weiteres. Und die dreidimensionale Entfaltung des vierdimensionalen Hyperwürfels besteht aus dem ursprünglichen Würfel, aus dem sechs Würfel "wachsen", plus einem weiteren - dem endgültigen "Hyperface".

Tesseract-Eigenschaften sind die Fortsetzung der Eigenschaften von geometrischen Figuren niedrigerer Dimensionen in den vierdimensionalen Raum.

Projektion

In den zweidimensionalen Raum

Diese Struktur ist für die Vorstellungskraft schwierig, aber es ist möglich, den Tesserakt in 2D- oder 3D-Räume zu projizieren. Darüber hinaus erleichtert die Projektion auf die Ebene das Verständnis der Position der Eckpunkte des Hyperwürfels. Auf diese Weise können Bilder erhalten werden, die keine räumlichen Beziehungen innerhalb des Tesserakts mehr widerspiegeln, sondern die Struktur von Scheitelpunktverbindungen veranschaulichen, wie in den folgenden Beispielen:


In den dreidimensionalen Raum

Die Projektion eines Tesserakts auf einen dreidimensionalen Raum wird durch zwei verschachtelte dreidimensionale Würfel dargestellt, deren entsprechende Eckpunkte durch Segmente verbunden sind. Die inneren und äußeren Würfel haben im dreidimensionalen Raum unterschiedliche Größen, aber im vierdimensionalen Raum sind sie gleiche Würfel. Um die Gleichheit aller Würfel des Tesserakts zu verstehen, wurde ein rotierendes Tesseraktmodell erstellt.

Die sechs Pyramidenstümpfe an den Rändern des Tesserakts sind Bilder von sechs Würfeln.
Stereopaar

Ein Stereopaar eines Tesserakts wird als zwei Projektionen auf den dreidimensionalen Raum dargestellt. Dieses Tesseraktbild wurde entworfen, um die Tiefe als vierte Dimension darzustellen. Ein Stereopaar wird so betrachtet, dass jedes Auge nur eines dieser Bilder sieht. Es erscheint ein stereoskopisches Bild, das die Tiefe des Tesserakts reproduziert.

Den Tesserakt entfalten

Die Oberfläche eines Tesserakts kann zu acht Würfeln erweitert werden (ähnlich wie die Oberfläche eines Würfels zu sechs Quadraten erweitert werden kann). Es gibt 261 verschiedene Tesseract-Entfaltungen. Die Entfaltung des Tesserakts kann berechnet werden, indem verbundene Ecken in der Grafik gezeichnet werden.

Tesseract in der Kunst

In der New Abbott Plain von Edwine A. ist der Hypercube der Geschichtenerzähler.
In einer Episode von Die Abenteuer von Jimmy Neutron: Genius Boy erfindet Jimmy einen vierdimensionalen Hyperwürfel, der mit der Foldbox aus Heinleins Roman Road of Glory von 1963 identisch ist.
Robert E. Heinlein hat Hypercubes in mindestens drei Science-Fiction-Geschichten erwähnt. In Das Haus der vier Dimensionen (Das Haus, das Teale baute) (1940) beschrieb er ein Haus, das als Entfaltung eines Tesserakts gebaut wurde.
Heinleins Roman Road of Glory beschreibt ein übergroßes Gericht, das innen größer war als außen.
Henry Kuttners Geschichte "Mimsy Were the Borogoves" beschreibt ein Lernspielzeug für Kinder aus ferner Zukunft, das in seiner Struktur einem Tesseract ähnelt.
In dem Roman von Alex Garland (1999) wird der Begriff "Tesseract" für eine dreidimensionale Entfaltung eines vierdimensionalen Hyperwürfels anstelle des Hyperwürfels selbst verwendet. Dies ist eine Metapher, die zeigen soll, dass das Erkennungssystem breiter sein sollte als das erkennbare.
Würfel 2: Hypercube konzentriert sich auf acht Fremde, die in einem Hypercube oder einem Netzwerk verbundener Cubes gefangen sind.
Die TV-Serie Andromeda verwendet Tesseract-Generatoren als Verschwörungsinstrument. Sie sollen in erster Linie Raum und Zeit manipulieren.
Gemälde "Kreuzigung" (Corpus Hypercubus) von Salvador Dali (1954)
Das Nextwave-Comicbuch zeigt ein Fahrzeug mit 5 Tesseract-Zonen.
Auf dem Voivod Nothingface-Album heißt einer der Songs "In my hypercube".
In dem Roman von Anthony Pierce "Route Cube" wird einer der umlaufenden Monde der International Development Association als Tesseract bezeichnet, der in drei Dimensionen komprimiert wurde.
In der Serie "School" Black Hole "in der dritten Staffel gibt es eine Serie" Tesseract ". Lucas drückt einen geheimen Knopf und die Schule nimmt Gestalt an wie ein mathematischer Tesserakt.
Der Begriff "Tesseract" und der daraus abgeleitete Begriff "Tesseract" finden sich in Madeleine L'Engles Geschichte "The Fold of Time".

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