Kengaytirilgan kub nimaga o'xshaydi? To'rt o'lchovli kub

Hypercube va Platonik qattiq moddalar

Vektor tizimida qisqartirilgan ikosaedrni ("futbol to'pi") taqlid qiling
har bir beshburchak olti burchak bilan chegaralangan

Kesilgan ikosaedr yuzlarni muntazam beshburchak shaklida shakllantirish uchun 12 ta tepalikni kesib olish orqali olish mumkin. Bunday holda, yangi ko'p qirrali tepaliklar soni 5 baravar ko'payadi (12 × 5 \u003d 60), 20 ta uchburchak yuzlar olti burchaklarga aylanadi (jami yuzlar 20 + 12 \u003d 32 ga aylanadi) va qirralarning soni 30 + 12 × 5 \u003d 90 ga ko'payadi.

Vektor tizimida kesilgan icosahedrni qurish bosqichlari

4 o'lchovli kosmosdagi shakllar.

--à

--à ?

Masalan, kub va giperkub berilgan. Giperkubkada 24 ta yuz bor. Bu shuni anglatadiki, 4 o'lchovli oktaedr 24 tepaga ega bo'ladi. Yo'q bo'lsa ham, giperkubkada kublarning 8 yuzi bor - har bir markaz tepalikka ega. Demak, 4 o'lchovli oktaedrda 8 ta tepalik osonroq bo'ladi.

4 o'lchovli oktaedr... U sakkizta teng va teng tetraedrlardan iborat,
har bir tepada to'rttadan bog'langan.

Shakl: Simulyatsiya qilishga urinish
"Vektor" tizimidagi giperfera-giperfera

Old va orqa yuzlar - buzilishsiz to'plar. Yana oltita to'p - siz ellipsoidlar yoki kvadratik yuzalar (generator sifatida 4 ta kontur chiziqlari orqali) yoki yuzlar orqali (avval generatorlar orqali ko'rsatilgan) belgilashingiz mumkin.

Giperferani "qurish" uchun ko'proq fokuslar
- 4 o'lchovli kosmosdagi o'sha "futbol to'pi"

2-ilova

Qavariq poliedra uchun 1752 yilda Leonard Eyler tomonidan isbotlangan va uning Eyler teoremasi deb nomlangan tepalari, qirralari va yuzlari sonini birlashtiruvchi xususiyat mavjud.

Uni shakllantirishdan oldin, ma'lum bo'lgan polyhedrani ko'rib chiqing va quyidagi jadvalni to'ldiring, unda B - tepalar soni, P - qirralarning soni va G - berilgan politopning yuzlari:

Ushbu jadvaldan to'g'ridan-to'g'ri ko'rinib turibdiki, barcha tanlangan politoplar uchun B - P + Γ \u003d 2 tenglik amal qiladi.Ma'lumki, bu tenglik nafaqat ushbu ko'p qirrali, balki ixtiyoriy qavariq ko'pburchak uchun ham to'g'ri keladi.

Eyler teoremasi. Har qanday qavariq politop uchun tenglik

B - R + G \u003d 2,

bu erda B - tepalar soni, P - qirralarning soni va G - berilgan ko'pburchakning yuzlari soni.

Dalillar.Ushbu tenglikni isbotlash uchun elastik materialdan tayyorlangan ko'p qirrali yuzani tasavvur qiling. Keling, uning yuzlaridan birini o'chirib (kesib) olamiz va qolgan yuzani tekislikka cho'zamiz. Kichik ko'pburchaklarga bo'linadigan (ko'pburchakning boshqa yuzlari tomonidan hosil qilingan) ko'pburchakni (ko'pburchakning uzoq yuzi qirralari tomonidan hosil qilingan) olamiz.

E'tibor bering, ko'pburchaklar deformatsiyalanishi, kattalashishi, kichraytirilishi yoki hattoki yon tomonlari kavisli bo'lishi mumkin, agar tomonlar sinmasa. Bu tepaliklar, qirralar va yuzlar sonini o'zgartirmaydi.

Natijada ko'pburchakning kichik ko'pburchaklarga bo'linishi uchun tenglik ekanligini isbotlaylik

(*) B - R + G "\u003d 1,

bu erda V - tepaliklarning umumiy soni, R - qirralarning umumiy soni va G "- bu qismga kiritilgan ko'pburchaklarning soni. G" \u003d G - 1 ekanligi aniq, bu erda G - berilgan ko'pburchakning yuzlari soni.

Berilgan qismning ba'zi bir ko'pburchkasida diagonal chizilgan bo'lsa, tenglik (*) o'zgarmasligini isbotlaylik (5-rasm, a). Darhaqiqat, bunday diagonalni chizgandan so'ng, yangi bo'limda B tepalari, P + 1 qirralari bo'ladi va ko'pburchaklar soni bittaga ko'payadi. Shuning uchun, bizda bor

B - (P + 1) + (G "+1) \u003d B - P + G" .

Ushbu xususiyatdan foydalanib, keladigan ko'pburchaklarni uchburchaklarga ajratuvchi diagonallarni chizamiz va natijada bo'linish uchun (*) tenglik qondirilishini ko'rsatamiz (5-rasm, b). Buning uchun biz doimiy ravishda tashqi qirralarni olib tashlaymiz, uchburchaklar sonini kamaytiramiz. Bunday holda, ikkita holat mumkin:

a) uchburchakni olib tashlash uchun ABC bizning holatlarimizda ikkita qirrani olib tashlash talab qilinadi AB va Miloddan avvalgi;

b) uchburchakni olib tashlash uchunMKN bizning holimizda bitta chekkani olib tashlash talab qilinadiMN.

Ikkala holatda ham tenglik (*) o'zgarmaydi. Masalan, birinchi holda, uchburchak o'chirilgandan so'ng, grafik B - 1 tepalik, P - 2 qirradan va G "- 1 ko'pburchakdan iborat bo'ladi:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - P + G".

Ikkinchi ishni o'zingiz ko'rib chiqing.

Shunday qilib, bitta uchburchakni olib tashlash tenglikni o'zgartirmaydi (*). Uchburchaklarni olib tashlash jarayonini davom ettirib, biz oxir-oqibat bitta uchburchakdan iborat plitkalarga erishamiz. Bunday bo'linma uchun B \u003d 3, P \u003d 3, ph "\u003d 1 va shuning uchun B - P + Γ" \u003d 1. Demak, (*) tenglik ham asl qism uchun amal qiladi, shuning uchun biz ko'pburchakning ma'lum bo'limi uchun uni olamiz. tenglik (*) to'g'ri. Shunday qilib, asl qavariq politop uchun B - P + Γ \u003d 2 tenglik rost.

Eyler munosabati saqlanmaydigan ko'pburchakning misoli, 6-rasmda ko'rsatilgan. Ushbu ko'pburchakning 16 ta tepasi, 32 ta qirrasi va 16 ta yuzi bor. Shunday qilib, bu ko'p qirrali uchun B - P + Γ \u003d 0 tenglik amal qiladi.

3-ilova.

Film Cube 2: Hypercube "(ing. Cube 2: Hypercube) - fantastik film," Kub "filmining davomi.

Sakkizta musofir kub shaklidagi xonalarda uyg'onadi. Xonalar to'rt o'lchovli giperkubaning ichida joylashgan. Xonalar doimiy ravishda "kvant teleportatsiyasi" bilan harakat qilishadi, agar siz qo'shni xonaga chiqsangiz, u holda eskisiga qaytish ehtimoldan yiroq emas. Giperkubada parallel olamlar kesishadi, vaqt ba'zi xonalarda har xil yo'llar bilan oqadi, ba'zi xonalar esa o'lim tuzog'idir.

Rasm syujeti asosan birinchi qismning tarixini takrorlaydi, bu ba'zi belgilar obrazlarida ham aks etadi. Hiperkubni yo'q qilish vaqtini aniq hisoblagan Nobel mukofoti sovrindori Rozenzveyg giperkubaning xonalarida vafot etadi..

Tanqid

Agar birinchi qismda labirintada qamalganlar bir-birlariga yordam berishga harakat qilsalar, bu filmda hamma o'zi uchun. Filmning ushbu qismini oldingisi bilan mantiqan bog'lamaydigan juda ko'p keraksiz maxsus effektlar (ular tuzoq). Ya'ni, Cube 2 filmi chiqadi - bu kelajakdagi labirint 2020-2030, ammo 2000 yil emas. Birinchi qismda har qanday tuzoq odam nazariy jihatdan yaratilishi mumkin. Ikkinchi qismda ushbu tuzoqlar "Virtual Reality" deb nomlangan kompyuter dasturi.

Operatsiyadan keyin ma'ruza qilishim bilanoq, talabalar tomonidan berilgan birinchi savol:

Biz uchun qachon 4 o'lchovli kubni chizasiz? Ilyos Abdulxaevich bizga va'da berdi!

Yodimda, aziz do'stlarim ba'zida matematik ta'lim dasturining bir lahzasini yaxshi ko'rishadi. Shuning uchun men matematiklar uchun ma'ruzamning bir qismini shu erda yozaman. Va men zerikmasdan harakat qilaman. Ba'zi paytlarda men ma'ruzani qat'iyroq o'qidim, albatta.

Avval rozi bo'laylik. 4 o'lchovli, hatto undan ham ko'proq 5-6-7 va umuman k o'lchovli bo'shliq bizga hissiy hissiyotlarda berilmaydi.
"Biz baxtsizmiz, chunki biz uch o'lchamlimiz", dedi menga yakshanba kuni maktab o'qituvchisi, birinchi bo'lib menga 4 o'lchovli kub nima ekanligini aytib berdi. Yakshanba maktabi, albatta, o'ta diniy - matematik edi. O'sha paytda biz giper-kublarni o'rgangan edik. Bundan bir hafta oldin, matematik induktsiya, bundan bir hafta o'tgach, grafildagi Hamilton davrlari - navbati bilan bu 7-sinf.

Biz 4 o'lchovli kubga tegmaymiz, hidlamaymiz, eshitmaymiz yoki ko'ra olmaymiz. U bilan nima qilishimiz mumkin? Biz buni tasavvur qila olamiz! Bizning miyamiz ko'zlarimiz va qo'llarimizga qaraganda ancha murakkab.

Shunday qilib, 4 o'lchovli kub nima ekanligini tushunish uchun, avvalo, biz uchun nimani mavjudligini tushunaylik. 3 o'lchovli kub nima?

Mayli mayli! Sizdan aniq matematik ta'rif so'ramayman. Faqat eng oddiy va eng keng tarqalgan uch o'lchovli kubni tasavvur qiling. Siz taqdim qildingizmi?

Xop.
3 o'lchovli kubni 4 o'lchovli bo'shliqqa qanday umumlashtirishni tushunish uchun, 2 o'lchovli kub nima ekanligini aniqlaylik. Bu juda oddiy - bu kvadrat!

Kvadrat 2 koordinataga ega. Kub uchta. Kvadrat nuqtalari ikki koordinatali nuqtalardir. Birinchisi 0 dan 1 gacha, ikkinchisi 0 dan 1 gacha. Kubning nuqtalari uchta koordinataga ega. Va ularning har biri 0 dan 1 gacha bo'lgan har qanday raqam.

4 o'lchovli kubni 4 koordinatali va 0 dan 1 gacha bo'lgan hamma narsani tasavvur qilish mantiqan to'g'ri.

/ * Bundan tashqari, 1 o'lchovli kubni tasavvur qilish mantiqan to'g'ri keladi, bu 0 dan 1 gacha oddiy segmentdan boshqa narsa emas. * /

Xo'sh, to'xtang, qanday qilib 4 o'lchovli kubni chizish mumkin? Axir biz samolyotda 4 o'lchovli bo'shliqni chiza olmaymiz!
Ammo biz ham uch o'lchovli bo'shliqni tekislikka chizmaymiz, uni chizamiz proektsiya rasmning 2 o'lchovli tekisligiga. Uchinchi koordinatani (z) burchak ostida joylashtiramiz, chizilgan tekisligidan o'qi "biz tomon" ketishini tasavvur qilamiz.

Endi 4 o'lchovli kubni qanday chizish kerakligi aniq. Uchinchi o'qni ma'lum bir burchakka qo'yganimiz kabi, to'rtinchi o'qni oling va uni ham ma'lum bir burchak ostida joylashtiring.
Va voila! - 4 o'lchovli kubni tekislikka proektsiyalash.

Nima? Bu baribir nima? Men har doim orqa partalardan shivirlashni eshitaman. Keling, bu satrlarning nima ekanligini batafsilroq tushuntirib beray.
Avval 3D kubga qarang. Biz nima qildik? Biz kvadrat olib, uni uchinchi o'qi (z) bo'ylab tortib oldik. Bu qoziqda bir-biriga yopishtirilgan ko'plab qog'oz kvadratlarga o'xshaydi.
4 o'lchovli kub bilan ham xuddi shunday. Keling, to'rtinchi o'qni qulaylik va ilmiy fantastika uchun "vaqt o'qi" deb ataymiz. Biz oddiy uch o'lchovli kubni olib, vaqt o'tishi bilan "hozir" dan "bir soat ichida" sudrab borishimiz kerak.

Hozir bizda kub bor. Rasmda pushti rang bor.

Va endi biz uni to'rtinchi o'q bo'ylab - vaqt o'qi bo'ylab tortib olamiz (men uni yashil rangda ko'rsatdim). Va biz kelajak kubini olamiz - ko'k.

"Endi kub" ning har bir tepasi vaqt o'tishi bilan iz qoldiradi - segment. Uning hozirgi kunini uning kelajagi bilan bog'lash.

Qisqasi, lirikasiz: biz ikkita bir xil 3 o'lchovli kublarni chizdik va mos keladigan tepalarni uladik.
Xuddi shu tarzda biz 3 o'lchovli kub bilan ishladik (2 xil o'lchovli 2 kubni torting va tepaliklarni ulang).

5 o'lchovli kubni chizish uchun siz 4 o'lchovli kubning ikki nusxasini (beshinchi koordinatali 0 bo'lgan 4 o'lchovli kub va beshinchi koordinatasi 1 bilan 4 o'lchovli kub) chizishingiz va tegishli tepaliklarni qirralar bilan bog'lashingiz kerak bo'ladi. To'g'ri, samolyotda shunday qirralarning paydo bo'lishi, hech narsani tushunish deyarli imkonsiz bo'lib qoladi.

Biz 4 o'lchovli kubni tasavvur qilganimizda va hatto uni chizishga muvaffaq bo'lganimizda, biz uni har qanday usulda o'rganishimiz mumkin. Buni yodda ham, rasmda ham o'rganishni unutmang.
Masalan. 2 o'lchovli kub 4 tomondan 1 o'lchovli kublar bilan chegaralangan. Bu mantiqan to'g'ri keladi: har 2 koordinataning ham boshi, ham oxiri bor.
3 o'lchovli kub 6 tomondan 2 o'lchovli kublar bilan chegaralangan. Uch koordinataning har biri uchun uning boshi va oxiri bor.
Bu shuni anglatadiki, 4 o'lchovli kub sakkizta 3 o'lchovli kub bilan cheklanishi kerak. 4 koordinataning har birida - ikkala tomonda. Yuqoridagi rasmda biz uni "vaqt" koordinatasi bo'ylab bog'lab turgan 2 yuzni aniq ko'rib turibmiz.

Mana, ikkita kub (ular biroz egiluvchan, chunki ular tekislikka burchak ostida proektsiyalangan 2 o'lchamga ega), bizning giper-kubimizni chapga va o'ngga bog'lab turadi.

Bundan tashqari, "yuqori" va "pastki" qismlarini sezish oson.

Eng qiyin narsa, "old" va "orqa" qaerda ekanligini ingl. Oldingi "endi kub" ning old yuzidan va "kelajak kubi" ning old yuzidan boshlanadi - u qizil rangga ega. Orqa navbati bilan binafsha rang.

Ularni aniqlash eng qiyin, chunki boshqa kublar sizning oyoqlaringiz ostiga o'raladi va giperkubkani boshqa proektsiyalangan koordinatada cheklaydi. Ammo kublar hali ham boshqacha ekanligiga e'tibor bering! Mana, "endi kub" va "kelajak kubi" ta'kidlangan yana bir rasm.

Albatta, siz 4 o'lchovli kubni 3 o'lchovli bo'shliqqa proektsiyalashingiz mumkin.
Birinchi mumkin bo'lgan kosmik model qanday ko'rinishga ega ekanligi aniq: siz 2 kub skeletini olishingiz va ularga mos keladigan tepaliklarni yangi chekka bilan bog'lashingiz kerak.
Hozir menda bunday model yo'q. Ma'ruzada men talabalarga 4 o'lchovli kubning bir oz boshqacha 3 o'lchovli modelini ko'rsataman.

Kub qanday qilib shunday tekislikka proyeksiya qilinishini bilasiz.
Go'yo biz yuqoridan bir kubga qarayapmiz.

Eng yaqin chiziq, albatta, katta. Va chekka kichikroq ko'rinadi, biz uni yaqinidan ko'rib turibmiz.

4 o'lchovli kubni shu tarzda loyihalashtirish mumkin. Kub endi kattaroq, kelajak kubini uzoqdan ko'ramiz, shuning uchun u kichikroq ko'rinadi.

Boshqa tomondan. Ustki tomondan.

Yuz tomondan to'g'ri:

Qovurgi tomondan:

Va oxirgi burchak, assimetrik. "Siz ham menga uning qovurg'alari orasiga qaraganimni aytasiz" bo'limidan.

Xo'sh, unda siz har qanday narsani o'ylab topishingiz mumkin. Masalan, tekislikda 3 o'lchovli kubni tarash bo'lgani kabi (katlamada kub olish uchun shunday qilib qog'oz varaqni kesib olish kerak), shuningdek, 4 o'lchovli kubni kosmosga tarash ham mavjud. Yog'ochni kesishga o'xshaydi, shuning uchun uni 4 o'lchovli maydonda katlayarak biz tesseraktni olamiz.

Siz nafaqat 4 o'lchovli kubni, balki umuman n o'lchovli kublarni o'rganishingiz mumkin. Masalan, n-o'lchovli kub atrofida aylantirilgan sharning radiusi shu kubning chetidan uzunroq ekanligi to'g'rimi? Yoki bu erda oddiyroq savol: n o'lchovli kub qancha tepalikka ega? Qancha qirralar (1 o'lchovli yuzlar)?

Agar siz Qasoskorlar filmining muxlisi bo'lsangiz, "Tesserakt" so'zini eshitganingizda xayolingizga birinchi bo'lib cheksiz kuchni o'z ichiga olgan Infinity Stone-ning shaffof kubikli idishi kiradi.

Marvel Universe muxlislari uchun Tesseract nafaqat Yerdan, balki boshqa sayyoralardan ham odamlarni aqldan ozdiradigan porlab turgan ko'k kubdir. Shuning uchun ham barcha Qasoskorlar er yuzini Tesseraktning o'ta zararli kuchlaridan himoya qilish uchun birlashdilar.

Biroq, quyidagilarni aytish kerak: Tesserakt bu haqiqiy geometrik tushuncha, aniqrog'i, 4D da mavjud bo'lgan shakl. Bu nafaqat Qasoskorlarning ko'k kubikidir ... bu haqiqiy tushuncha.

Tesseract - bu 4 o'lchamdagi ob'ekt. Ammo buni batafsil tushuntirishdan oldin, boshidan boshlaymiz.

O'lchov nima?

Har bir inson kosmosdagi mos ravishda ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli ob'ektlarni ifodalovchi 2D va 3D atamalarini eshitgan. Ammo bu nima?

O'lchov shunchaki siz borishingiz mumkin bo'lgan yo'nalishdir. Masalan, agar siz qog'ozga chiziq chizayotgan bo'lsangiz, chapga yoki o'ngga (x o'qi) yoki yuqoriga / pastga (y o'qi) o'tishingiz mumkin. Shunday qilib, biz qog'oz ikki o'lchovli deb aytamiz, chunki siz faqat ikki yo'nalishda yurishingiz mumkin.

3D-da chuqurlik hissi mavjud.

Endi, haqiqiy dunyoda, yuqorida aytib o'tilgan ikkita yo'nalishdan tashqari (chap / o'ng va yuqoriga / pastga), siz ham "kirish / chiqish" ga kirishingiz mumkin. Shunday qilib, chuqurlik hissi 3D kosmosga qo'shiladi. Shuning uchun biz haqiqiy hayot 3 o'lchovli deb aytamiz.

Nuqta 0 o'lchovni (hech qanday yo'nalishda harakat qilmagani uchun), chiziq 1 o'lchamni (uzunlikni), kvadrat 2 o'lchamni (uzunlik va kenglik), kub esa 3 o'lchamni (uzunlik, kenglik va balandlik) ifodalashi mumkin.

3D kubni oling va har bir yuzni (hozirda kvadrat shaklida) kub bilan almashtiring. Va hokazo! Siz olgan shakl tesseraktdir.

Tesserakt nima?

Oddiy qilib aytganda, tesserakt - bu 4 o'lchovli kosmosdagi kub. Bundan tashqari, bu kubning 4D analogidir, deyishingiz mumkin. Bu har bir yuz kub bo'lgan 4D shaklidir.

Mana o'lchovlarni kontseptsiya qilishning oddiy usuli: kvadrat ikki o'lchovli; shuning uchun uning har bir burchagida bir-biriga 90 daraja burchak ostida cho'zilgan 2 ta chiziq mavjud. Kub 3 o'lchamli, shuning uchun uning har bir burchagi undan tushgan 3 ta chiziqqa ega. Xuddi shu tarzda, tesserakt 4D shaklga ega, shuning uchun har bir burchakda to'rtta chiziq bor.

Nimaga tesseraktni tasavvur qilish qiyin?

Biz, inson sifatida, ob'ektlarni uch o'lchamda tasavvur qilish uchun rivojlanganimiz sababli, 4D, 5D, 6D va boshqalar kabi qo'shimcha o'lchamlarga kiradigan har qanday narsa biz uchun juda mantiqiy emas, chunki biz ularni umuman ololmaymiz. tasavvur qiling. Bizning miyamiz kosmosdagi 4-o'lchovni tushuna olmaydi. Biz bu haqda o'ylay olmaymiz.

Tesserakt - to'rt o'lchovli giperkub - to'rt o'lchovli kosmosdagi kub.
Oksford lug'atiga ko'ra tesserakt 1888 yilda Charlz Xovard Xinton (1853-1907) tomonidan "Fikrning yangi asri" kitobida ishlab chiqilgan va ishlatilgan. Keyinchalik, ba'zi odamlar bir xil figurani tetrakub (yunoncha rα - to'rt) - to'rt o'lchovli kub deb atashgan.
Evklid to'rt o'lchovli kosmosdagi oddiy tesserakt nuqtalarning qavariq tanasi (± 1, ± 1, ± 1, ± 1) sifatida tavsiflanadi. Boshqacha qilib aytganda, uni quyidagi to'plam sifatida ko'rsatish mumkin:
[-1, 1] ^ 4 \u003d ((x_1, x_2, x_3, x_4): -1 \u003d Tesserakt x_i \u003d + - 1, i \u003d 1,2,3,4 sakkizta giperplanlar bilan chegaralangan, tesseraktning o'zi bilan kesishishi uni belgilaydi 3D yuzlar (ular oddiy kublar) Parallel bo'lmagan 3D yuzlarning har bir jufti kesishib, ikki o'lchovli yuzlarni (kvadratlarni) va boshqalarni hosil qiladi. Va nihoyat, tesserakt 8 ta uch o'lchovli yuzga, 24 ta ikki o'lchovli yuzga, 32 qirraga va 16 ta tepaga ega.
Ommabop tavsif
Giperkubik qanday ko'rinishini uch o'lchovli bo'shliqni qoldirmasdan tasavvur qilishga harakat qilaylik.
Bir o'lchovli "kosmosda" - chiziqda - L uzunlikdagi AB segmentini tanlang, AB dan L masofada joylashgan ikki o'lchovli tekislikda unga parallel ravishda DC kesma chizib oling va ularning uchlarini ulang. Natijada kvadrat CDBA hosil bo'ladi. Ushbu operatsiyani samolyot bilan takrorlasak, biz CDBAGHFE uch o'lchovli kubini olamiz. Va to'rtinchi o'lchamdagi kubni (birinchi uchlikka perpendikulyar) L masofaga siljitish orqali biz CDBAGHFEKLJIOPNM giperkubasini olamiz.
Bir o'lchovli AB segment ikki o'lchovli kvadrat CDBA tomoni, kvadrat CDBAGHFE kubning tomoni bo'lib, u o'z navbatida to'rt o'lchovli giperkubaning tomoni bo'ladi. To'g'ri chiziq bo'lagi ikkita chegara nuqtasiga ega, kvadrat to'rtta tepaga, kub esa sakkiztaga ega. To'rt o'lchovli giperkubkada 16 ta tepalik bo'ladi: asl kubning 8 ta tepasi va to'rtinchi o'lchamda 8 ta siljigan. Uning 32 ta qirrasi bor - har biri 12 tasi asl kubning dastlabki va oxirgi pozitsiyalarini beradi va yana 8 ta qirralar to'rtinchi o'lchovga o'tgan sakkizta tepalikni "chizadi". Xuddi shu fikrni giperkubaning yuzlari uchun ham qilish mumkin. Ikki o'lchovli kosmosda u bitta (kvadratning o'zi), kubning oltitasi bor (ko'chirilgan kvadratdan ikkita yuz va yana to'rttasi uning tomonlarini tasvirlaydi). To'rt o'lchovli giperkubik 24 kvadrat yuzga ega - asl kubikning 12 kvadratchasi ikkita holatda va o'n ikki qirrasidan 12 kvadrat.
Kvadratning yon tomonlari bir o'lchovli 4 ta bo'lak, kub tomonlari (yuzlari) 6 ta ikki o'lchovli kvadrat bo'lgani uchun, "to'rt o'lchovli kub" (tesserakt) uchun tomonlar 8 ta uch o'lchovli kublardan iborat. Qarama-qarshi juft tesserakt kublarining bo'shliqlari (ya'ni bu kublar tegishli bo'lgan uch o'lchovli bo'shliqlar) parallel. Rasmda bular kublar: CDBAGHFE va KLJIOPNM, CDBAKLJI va GHFEOPNM, EFBAMNJI va GHDCOPLK, CKIAGOME va DLJBHPNF.
Xuddi shu tarzda, biz ko'proq o'lchamdagi giperkublar haqida fikr yuritishni davom ettira olamiz, ammo to'rt o'lchovli giperkubaning biz uchun, uch o'lchovli makon aholisi qanday bo'lishini ko'rish juda ham qiziqroq. Buning uchun tanish analogiya usulidan foydalanamiz.
ABCDHEFG simli kubini oling va yuzning bir tomoni bilan unga qarang. Biz samolyotda to'rtta chiziq - yon qirralar bilan bog'langan ikkita kvadratni (uning yaqin va uzoq yuzlari) ko'rib chiqamiz va chizishimiz mumkin. Xuddi shunday, uch o'lchovli kosmosdagi to'rt o'lchovli giperküp bir-biriga kiritilgan va sakkiz qirrasi bilan bog'langan ikkita kubikli "qutilar" ga o'xshaydi. Bunday holda, "qutilar" ning o'zi - uch o'lchovli yuzlar "bizning" maydonimizga proektsiyalanadi va ularni bog'laydigan chiziqlar to'rtinchi o'q yo'nalishi bo'yicha cho'ziladi. Bundan tashqari, kubni proektsiyada emas, balki fazoviy tasvirda tasavvur qilishga urinib ko'rishingiz mumkin.
Uch o'lchovli kub yuzning uzunligiga qarab siljigan kvadratdan hosil bo'lganidek, to'rtinchi o'lchovga o'tkazilgan kub ham giperkubka hosil qiladi. U sakkizta kubik bilan cheklangan bo'lib, ular nuqtai nazardan ancha murakkab figuraga o'xshaydi. Xuddi shu to'rt o'lchovli giperkubik cheksiz ko'p kublardan iborat, xuddi uch o'lchovli kubni cheksiz ko'p tekis kvadratlarga "kesib" olish mumkin.
Uch o'lchovli kubning oltita yuzini kesib, uni tekis shaklga - supurishga kengaytira olasiz. Uning asl yuzining har ikki tomonida kvadrat va yana bittasi bo'ladi - unga qarama-qarshi yuz. To'rt o'lchovli giperkubaning uch o'lchovli ochilishi dastlabki kubdan iborat bo'lib, undan olti kub "o'sib", yana bittasi - oxirgi "giperfeys" dan iborat bo'ladi.
Tesserakt xossalari - bu to'rt o'lchovli kosmosdagi pastki o'lchamdagi geometrik figuralar xususiyatlarining davomi.

Rasm - bu to'rt o'lchovli kubning uch o'lchovli bo'shliqqa proektsiyasi (perspektivasi).

Oksford lug'atiga ko'ra, "tesserakt" so'zi 1888 yilda Charlz Xovard Xinton (1853-1907) tomonidan "Fikrning yangi davri" kitobida ishlatilgan va ishlatilgan. Keyinchalik, ba'zi odamlar o'sha raqamni "tetrakube" deb atashgan.

Geometriya

Evklid to'rt o'lchovli kosmosdagi oddiy tesserakt nuqtalarning qavariq tanasi sifatida aniqlanadi (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Boshqacha qilib aytganda, uni quyidagi to'plam sifatida ko'rsatish mumkin:

Tesserakt sakkizta giper tekislik bilan chegaralanadi, uning tesserakt bilan kesishishi uning uch o'lchovli yuzlarini belgilaydi (ular oddiy kublar). Parallel bo'lmagan 3D yuzlarning har bir jufti kesishib, 2D yuzlar (kvadratlar) hosil qiladi va hokazo. Va nihoyat, tesseraktda 8 ta 3D yuzlar, 24 2D, 32 qirralar va 16 tepaliklar mavjud.

Ommabop tavsif

Uch o'lchovli bo'shliqni qoldirmasdan giperkubaning qanday ko'rinishini tasavvur qilishga harakat qilaylik.

Bir o'lchovli "kosmosda" - chiziqda - L uzunlikdagi AB segmentini tanlang, AB dan L masofada joylashgan ikki o'lchovli tekislikda unga parallel ravishda DC kesma chizib oling va ularning uchlarini ulang. Natijada ABCD kvadrat hosil bo'ladi. Ushbu amalni samolyot bilan takrorlab, biz uch o'lchovli ABCDHEFG kubini olamiz. Va to'rtinchi o'lchamdagi kubni (birinchi uchlikka perpendikulyar) L masofaga siljitib, biz ABCDEFGHIJKLMNOP giperkubasini olamiz.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Covery_tesseract.PNG

Bir o'lchovli AB segment ikki o'lchovli kvadrat ABCD tomoni, kvadrat ABCDHEFG kub tomoni bo'lib, u o'z navbatida to'rt o'lchovli giperkubaning tomoni bo'ladi. To'g'ri chiziq bo'lagi ikkita chegara nuqtasiga ega, kvadrat to'rtta tepaga, kub esa sakkiztaga ega. To'rt o'lchovli giperkubkada 16 ta tepalik bo'ladi: asl kubning 8 ta tepasi va to'rtinchi o'lchamda 8 ta siljigan. Uning 32 ta qirrasi bor - har biri 12 tasi asl kubning boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalarini beradi va yana 8 ta qirralar to'rtinchi o'lchamga o'tgan sakkizta tepalikni "chizadi". Xuddi shu fikrni giperkubaning yuzlari uchun ham qilish mumkin. Ikki o'lchovli kosmosda u bitta (kvadratning o'zi), kubning oltitasi bor (ko'chirilgan kvadratdan ikkita yuz va yana to'rttasi uning tomonlarini tasvirlaydi). To'rt o'lchovli giperkubik 24 kvadrat yuzga ega - asl kubikning 12 kvadratchasi ikkita holatda va o'n ikki qirrasidan 12 kvadrat.

Xuddi shu tarzda, biz ko'proq o'lchamdagi giperkubiklar haqida fikr yuritishni davom ettira olamiz, ammo to'rt o'lchovli giperkubaning biz uchun, uch o'lchovli makon aholisi kabi ko'rinishini ko'rish ancha qiziqroq. Buning uchun tanish analogiya usulidan foydalanamiz.

Tesseraktni echish

ABCDHEFG simli kubni oling va yuzning bir tomonidan unga bir ko'z bilan qarang. Biz samolyotda to'rtta chiziq - yon qirralar bilan bog'langan ikkita kvadratni (uning yaqin va uzoq yuzlari) ko'rib chiqamiz va chizishimiz mumkin. Xuddi shunday, uch o'lchovli kosmosdagi to'rt o'lchovli giperküp bir-biriga kiritilgan va sakkiz qirrasi bilan bog'langan ikkita kubikli "qutilar" ga o'xshaydi. Bunday holda, "qutilar" ning o'zi - uch o'lchovli yuzlar "bizning" makonimizga proektsiyalanadi va ularni bog'laydigan chiziqlar to'rtinchi o'lchovda cho'zilib ketadi. Bundan tashqari, kubni proektsiyada emas, balki fazoviy tasvirda tasavvur qilishga urinib ko'rishingiz mumkin.

Uch o'lchovli kub yuzning uzunligiga qarab siljigan kvadratdan hosil bo'lganidek, to'rtinchi o'lchovga o'tgan kub ham giperkubka hosil qiladi. U sakkizta kubik bilan cheklangan bo'lib, ular nuqtai nazardan ancha murakkab shaklga o'xshaydi. Uning "bizning" makonimizda qolgan qismi qattiq chiziqlar bilan, giperkosmosga o'tgani esa nuqta chiziqlar bilan chizilgan. Xuddi shu to'rt o'lchovli giperküp cheksiz ko'p kublardan iborat, xuddi uch o'lchovli kubni cheksiz ko'p tekis kvadratlarga "kesib" olish mumkin.

Uch o'lchovli kubning oltita yuzini kesib, uni tekis shaklga - supurishga kengaytirishingiz mumkin. Uning asl yuzining har ikki tomonida kvadrat va yana bittasi bo'ladi - unga qarama-qarshi yuz. To'rt o'lchovli giperkubni uch o'lchovli tozalash asl kubdan iborat bo'ladi, undan olti kub "o'sib", yana bittasi - oxirgi "giperfeys" dan iborat bo'ladi.

Tesserakt xossalari - to'rt o'lchovli bo'shliqqa pastki o'lchamdagi geometrik figuralar xususiyatlarining davomi.

Loyihalash

Ikki o'lchovli bo'shliqqa

Ushbu tuzilish tasavvur uchun qiyin, ammo tesseraktni 2D yoki 3D bo'shliqlarga proektsiyalash mumkin. Bundan tashqari, tekislikka proyeksiya qilish giperkubaning tepalari joylashishini tushunishni osonlashtiradi. Shunday qilib, endi tesserakt ichidagi fazoviy munosabatlarni aks ettirmaydigan, lekin quyidagi misollarda bo'lgani kabi, vertikal bog'lanishlarning tuzilishini aks ettiradigan tasvirlarni olish mumkin:


Uch o'lchovli bo'shliqqa

Tesseraktning uch o'lchovli bo'shliqqa proektsiyasi ikkita cho'zilgan uch o'lchovli kublar bilan ifodalanadi, ularning tegishli tepalari segmentlar bilan bog'lanadi. Ichki va tashqi kubiklar uch o'lchovli bo'shliqda har xil o'lchamlarga ega, ammo to'rt o'lchovli bo'shliqda ular teng kublardir. Tesseraktning barcha kubiklarining tengligini tushunish uchun aylanadigan tesserakt modeli yaratildi.

Tesseraktning chekkalarida joylashgan oltita kesilgan piramidalar teng oltita kubikning tasviridir.
Stereo juftlik

Tesseraktning stereoferi uch o'lchovli kosmosga ikkita proektsiya sifatida tasvirlangan. Ushbu tesserakt tasvir to'rtinchi o'lchov sifatida chuqurlikni ifodalash uchun ishlab chiqilgan. Har bir ko'z ushbu tasvirlardan faqat bittasini ko'rishi uchun stereoferni ko'rishadi, tesserakt chuqurligini takrorlaydigan stereoskopik rasm paydo bo'ladi.

Tesseraktni echish

Tesserakt sirtini sakkiz kubga kengaytirish mumkin (kub yuzasini olti kvadratga qanday qilib kengaytirish mumkinligi singari). 261 ta turli xil tesseraktlar mavjud. Tesseraktning ochilishini grafada bog'langan burchaklarni chizish orqali hisoblash mumkin.

San'atdagi tesserakt

Edvin A.ning "Yangi Abbott tekisligida" giperkub hikoyachi.
"Jimmi Neytronning sarguzashtlari: Genius Boy Jimmi" ning Xaynlaynning 1963 yil "Shon-sharaf yo'li" romanidagi papka qutisiga o'xshash to'rt o'lchovli giperkubkani ixtiro qildi.
Robert E. Heinlein kamida uchta ilmiy fantastika hikoyalarida giperkublarni eslatib o'tdi. To'rt o'lchovli uy (Uy qurgan uy) (1940) asarida u tesseraktning ochilishi sifatida qurilgan uyni tasvirlab bergan.
Geynlaynning "Shon-sharaf yo'li" romanida katta hajmli idish tasvirlangan, u tashqi tomondan ko'ra kattaroq edi.
Genri Kuttnerning "Mimsi Borogoves edi" qissasida olis kelajakdagi bolalar uchun tuzilishi jihatidan tesseraktga o'xshash tarbiyaviy o'yinchoq tasvirlangan.
Aleks Garland (1999) romanida "tesserakt" atamasi giperkubaning o'zi emas, balki to'rt o'lchovli giperkubaning uch o'lchovli ochilishi uchun ishlatiladi. Bu bilish tizimining bilish tizimiga qaraganda kengroq bo'lishi kerakligini ko'rsatish uchun yaratilgan metafora.
2-kub: Hypercube giperkubada qolib ketgan sakkizta musofirga yoki bog'langan kublar tarmog'iga e'tibor qaratadi.
Andromeda teleseriali fitna vositasi sifatida tesserakt generatorlarini ishlatadi. Ular birinchi navbatda makon va vaqtni boshqarish uchun mo'ljallangan.
Salvador Dalining "Xochga mixlash" (Corpus Hypercubus) surati (1954)
Nextwave komiksida 5 tesserakt zonasini o'z ichiga olgan transport vositasi tasvirlangan.
Voivod Nothingface albomida qo'shiqlardan biri "In my hypercube" deb nomlangan.
Entoni Pirsning "Route Cuba" romanida Xalqaro taraqqiyot assotsiatsiyasining orbitadagi oylaridan biri tesserakt deb nomlangan bo'lib, u 3 o'lchovga siqilgan.
"Maktab" Qora tuynuk "seriyasida uchinchi mavsumda" Tesserakt "seriyasi mavjud. Lukas maxfiy tugmani bosadi va maktab matematik tesserakt kabi shakllana boshlaydi.
"Tesserakt" atamasi va undan kelib chiqqan "tesserakt" atamasi Madlen L'Englning "Vaqt burmasi" hikoyasida uchraydi.

uy » Ko'rsatmalar » Kengaytirilgan kub nimaga o'xshaydi? To'rt o'lchovli kub