Cum arată un cub extins? Cub în patru dimensiuni

Hipercub și solide platonice

Simulează un icosaedru trunchiat („minge de fotbal”) în sistemul Vector
în care fiecare pentagon este delimitat de hexagoane

Icosaedru trunchiat poate fi obținut tăind 12 vârfuri pentru a forma fețe sub formă de pentagoane regulate. În acest caz, numărul vârfurilor noului poliedru crește de 5 ori (12 × 5 \u003d 60), 20 de fețe triunghiulare se transformă în hexagoane regulate (total fețele devin 20 + 12 \u003d 32), și numărul muchiilor crește la 30 + 12 × 5 \u003d 90.

Pași pentru construirea unui icosaedru trunchiat în sistemul Vector

Forme în spațiul 4-dimensional.

--à

--à ?

De exemplu, dat un cub și un hipercub. Există 24 de fețe într-un hipercub. Aceasta înseamnă că un octaedru 4-dimensional va avea 24 de vârfuri. Deși nu, un hipercub are 8 fețe de cuburi - fiecare centru are un vârf. Aceasta înseamnă că un octaedru 4-dimensional va avea 8 vârfuri care sunt mai ușoare.

Octaedru 4-dimensional... Se compune din opt tetraedre echilaterale și egale,
conectate de patru la fiecare vârf.

Figura: Încearcă să simulezi
hipersferă-hipersferă în sistemul „Vector”

Fete față - spate - bile fără distorsiuni. Încă șase bile - puteți specifica prin elipsoide sau suprafețe pătratice (prin 4 linii de contur ca generatoare) sau prin fețe (mai întâi specificate prin generatoare).

Mai multe trucuri pentru a „construi” o hipersferă
- aceeași „minge de fotbal” în spațiul 4-dimensional

Anexa 2

Pentru poliedrele convexe, există o proprietate care leagă numărul vârfurilor, muchiilor și fețelor sale, dovedită în 1752 de Leonard Euler și numită teorema lui Euler.

Înainte de a o formula, luați în considerare poliedrele cunoscute și completați următorul tabel, în care B este numărul de vârfuri, P este numărul de muchii și G este fețele unui politop dat:

Din acest tabel se vede în mod direct că pentru toți politopii selectați se menține egalitatea B - P + Γ \u003d 2. Se pare că această egalitate este valabilă nu numai pentru acești politopi, ci și pentru un poliedru convex arbitrar.

Teorema lui Euler. Pentru orice politop convex, egalitatea

B - R + G \u003d 2,

unde B este numărul de vârfuri, P este numărul de muchii și G este numărul de fețe ale unui poliedru dat.

Dovezi.Pentru a demonstra această egalitate, imaginați-vă suprafața unui poliedru dat dintr-un material elastic. Să ștergem (să decupăm) una dintre fețele sale și să întindem suprafața rămasă pe un plan. Obținem un poligon (format de marginile feței îndepărtate a poliedrului), împărțit în poligoane mai mici (formate de celelalte fețe ale poliedrului).

Rețineți că poligoanele pot fi deformate, mărite, reduse sau chiar curbate pe laturile lor, atâta timp cât laturile nu se rup. Acest lucru nu modifică numărul de vârfuri, margini și fețe.

Să dovedim că pentru partiția rezultată a unui poligon în poligoane mai mici, egalitatea

(*) B - R + G "\u003d 1,

unde В este numărul total de vârfuri, Р este numărul total de margini, iar Г "este numărul de poligoane incluse în partiție. Este clar că Г" \u003d Г - 1, unde Г este numărul de fețe ale unui poliedru dat.

Să dovedim că egalitatea (*) nu se schimbă dacă este trasată o diagonală într-un poligon al partiției date (Fig. 5, a). Într-adevăr, după desenarea unei astfel de diagonale, noua partiție va conține vârfuri B, margini P + 1, iar numărul de poligoane va crește cu unul. Prin urmare, avem

B - (P + 1) + (G "+1) \u003d B - P + G" .

Folosind această proprietate, desenăm diagonale împărțind poligoanele primite în triunghiuri, iar pentru partiția rezultată arătăm că egalitatea (*) este îndeplinită (Fig. 5, b). Pentru a face acest lucru, vom elimina în mod constant marginile exterioare, reducând numărul de triunghiuri. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

a) pentru a scoate triunghiul ABC este necesar să scoatem două coaste, în cazul nostru AB și Î.Hr.;

b) pentru a scoate triunghiulMKN este necesar să scoatem o margine, în cazul nostruMN.

În ambele cazuri, egalitatea (*) nu se va schimba. De exemplu, în primul caz, după ștergerea triunghiului, graficul va fi format din vârfuri B - 1, margini P - 2 și poligon G "- 1:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - P + G".

Luați în considerare al doilea caz pe cont propriu.

Astfel, eliminarea unui triunghi nu schimbă egalitatea (*). Continuând acest proces de îndepărtare a triunghiurilor, vom ajunge în cele din urmă la o plăcuță formată dintr-un triunghi. Pentru o astfel de partiție, B \u003d 3, P \u003d 3, Γ "\u003d 1 și, prin urmare, B - P + Γ" \u003d 1. Prin urmare, egalitatea (*) este valabilă și pentru partiția originală, de unde obținem în cele din urmă aceea pentru o partiție dată a poligonului egalitatea (*) este adevărată. Astfel, pentru politopul convex original, egalitatea B - P + Γ \u003d 2 este adevărată.

Un exemplu de poliedru pentru care relația Euler nu este valabilă, prezentat în Figura 6. Acest poliedru are 16 vârfuri, 32 muchii și 16 fețe. Astfel, pentru acest poliedru se menține egalitatea B - P + Γ \u003d 0.

Anexa 3.

Film Cube 2: Hypercube "(eng. Cube 2: Hypercube) - un film fantastic, continuarea filmului" Cube ".

Opt străini se trezesc în camere în formă de cub. Camerele sunt situate în interiorul unui hipercub în patru dimensiuni. Camerele se mișcă constant prin „teleportare cuantică”, iar dacă te urci în camera alăturată, este puțin probabil să revii la cea veche. Într-un hipercub, lumile paralele se intersectează, timpul curge în unele camere în moduri diferite, iar unele camere sunt capcane ale morții.

Intriga imaginii repetă în mare parte istoria primei părți, care se reflectă și în imaginile unora dintre personaje. Moare în camerele hipercubului laureat Nobel Rosenzweig, care a calculat ora exactă a distrugerii hipercubului.

Critică

Dacă în prima parte oamenii închiși într-un labirint au încercat să se ajute reciproc, în acest film toată lumea este pentru sine. Există o mulțime de efecte speciale inutile (sunt și capcane) care nu conectează în mod logic această parte a filmului cu cea anterioară. Adică, filmul Cube 2 se dovedește - acesta este un fel de labirint al viitorului 2020-2030, dar nu 2000. În prima parte, tot felul de capcane pot fi create teoretic de o persoană. În a doua parte, aceste capcane sunt un program de calculator, așa-numita „Realitate virtuală”.

De îndată ce am putut prelega după operație, prima întrebare adresată de studenți:

Când veți desena un cub cu 4 dimensiuni pentru noi? Ilyas Abdulkhaevich ne-a promis!

Îmi amintesc că dragilor mei prieteni le place uneori un moment de program educațional matematic. Prin urmare, voi scrie aici o parte din prelegerea mea pentru matematicieni. Și voi încerca fără plictiseală. În anumite momente am citit prelegerea mai strict, desigur.

Să fim de acord mai întâi. Spațiul 4-dimensional și cu atât mai mult spațiul 5-6-7- și în general k-dimensional nu ni se dă în senzațiile senzoriale.
„Suntem nenorociți pentru că suntem doar tridimensionali”, a spus profesorul meu de școală duminicală, care a fost primul care mi-a spus ce este un cub cu 4 dimensiuni. Școala duminicală era, desigur, extrem de religioasă - matematică. În acel moment am studiat hipercuburi. Cu o săptămână înainte de aceasta, inducția matematică, la o săptămână după aceea, ciclurile hamiltoniene în grafice - respectiv, aceasta este nota 7.

Nu putem atinge, mirosi, auzi sau vedea un cub 4D. Ce putem face cu el? Ne putem imagina! Pentru că creierul nostru este mult mai complex decât ochii și mâinile noastre.

Deci, pentru a înțelege ce este un cub cu 4 dimensiuni, să înțelegem mai întâi ce ne este disponibil. Ce este un cub tridimensional?

BINE BINE! Nu vă cer o definiție matematică clară. Imaginați-vă cel mai simplu și cel mai comun cub tridimensional. Ai prezentat?

Bun.
Pentru a înțelege cum să generalizați un cub tridimensional într-un spațiu 4-dimensional, să ne dăm seama ce este un cub bidimensional. Deci, este simplu - este un pătrat!

Pătratul are 2 coordonate. Cubul are trei. Punctele unui pătrat sunt puncte cu două coordonate. Primul este de la 0 la 1. Și al doilea este de la 0 la 1. Punctele cubului au trei coordonate. Și fiecare este orice număr de la 0 la 1.

Este logic să ne imaginăm că un cub 4-dimensional este așa ceva cu 4 coordonate și totul de la 0 la 1.

/ * Este, de asemenea, logic să ne imaginăm un cub unidimensional, care nu este altceva decât un segment simplu de la 0 la 1. * /

Deci, oprește-te, cum desenezi un cub în 4 dimensiuni? La urma urmei, nu putem desena un spațiu 4-dimensional pe un plan!
Dar, de asemenea, nu desenăm spațiu tridimensional pe un plan, îl desenăm proiecție pe planul bidimensional al desenului. Așezăm a treia coordonată (z) într-un unghi, imaginându-ne că axa din planul desenului merge „spre noi”.

Acum este destul de clar cum să desenezi un cub în 4 dimensiuni. În același mod în care am așezat a treia axă la un anumit unghi, luați a patra axă și poziționați-o la un anumit unghi.
Și voila! - proiecția unui cub 4-dimensional pe un plan.

Ce? Ce este asta oricum? Întotdeauna aud o șoaptă de pe birourile din spate. Permiteți-mi să explic mai în detaliu ce este această mizerie de linii.
Uită-te mai întâi la cubul 3D. Ce am făcut? Am luat un pătrat și l-am târât de-a lungul celei de-a treia axe (z). Este ca multe, multe pătrate de hârtie lipite între ele într-o grămadă.
Este la fel cu un cub 4-dimensional. Să numim a patra axă „axa timpului” pentru comoditate și în scopuri science fiction. Trebuie să luăm un cub tridimensional obișnuit și să-l tragem în timp din timp „acum” în timp „într-o oră”.

Avem un cub acum. Este roz în imagine.

Și acum îl tragem de-a lungul celei de-a patra axe - de-a lungul axei timpului (am arătat-o \u200b\u200bîn verde). Și obținem cubul viitorului - albastru.

Fiecare vârf al „acum cubului” lasă o urmă în timp - un segment. Conectarea prezentului ei cu viitorul ei.

Pe scurt, fără versuri: am desenat două cuburi tridimensionale identice și am conectat vârfurile corespunzătoare.
La fel cum am făcut cu cubul tridimensional (desenați 2 cuburi bidimensionale identice și conectați vârfurile).

Pentru a desena un cub cu 5 dimensiuni, va trebui să desenați două copii ale cubului cu 4 dimensiuni (un cub cu 4 dimensiuni cu o a cincea coordonată 0 și un cub cu 4 dimensiuni cu o a cincea coordonată 1) și să conectați vârfurile corespunzătoare cu margini. Este adevărat, o astfel de amestec de margini va ieși pe plan încât va fi aproape imposibil să înțelegem ceva.

Când ne-am imaginat un cub cu 4 dimensiuni și am reușit chiar să-l desenăm, îl putem explora în orice mod. Nu uitați să o explorați atât în \u200b\u200bmintea dvs., cât și în imagine.
De exemplu. Un cub bidimensional este delimitat pe 4 laturi de cuburi 1-dimensionale. Acest lucru este logic: pentru fiecare dintre cele 2 coordonate, are atât un început, cât și un sfârșit.
Un cub tridimensional este delimitat pe 6 laturi de cuburi bidimensionale. Pentru fiecare dintre cele trei coordonate, are un început și un sfârșit.
Aceasta înseamnă că un cub cu 4 dimensiuni trebuie să fie limitat la opt cuburi cu 3 dimensiuni. Pe fiecare dintre cele 4 coordonate - pe ambele părți. În imaginea de mai sus, vedem clar 2 fețe care o legau de-a lungul coordonatei „timp”.

Iată două cuburi (sunt ușor oblic, deoarece au 2 dimensiuni proiectate pe un plan sub un unghi), limitând hipercubul nostru la stânga și la dreapta.

De asemenea, este ușor să observați „partea de sus” și „partea de jos”.

Cel mai dificil lucru este să înțelegeți vizual unde sunt „față” și „spate”. Cel din față pornește de pe fața frontală a „acum cubului” și spre fața din față a „viitorului cub” - este roșu. Spate, respectiv, mov.

Acestea sunt cele mai greu de observat, deoarece alte cuburi se încurcă sub picioarele tale și constrâng hipercubul într-o coordonată diferită proiectată. Dar rețineți că cuburile sunt încă diferite! Iată o altă imagine cu „cubul acum” și „cubul viitor” selectate.

Desigur, puteți proiecta un cub 4-dimensional într-un spațiu tridimensional.
Primul model spațial posibil este clar cum arată: trebuie să luați 2 schelete cub și să conectați vârfurile respective cu o nouă margine.
Nu am un astfel de model acum. În curs, le arăt studenților un model tridimensional ușor diferit al unui cub cu 4 dimensiuni.

Știți cum este proiectat un cub pe un plan ca acesta.
De parcă ne uităm la un cub de sus.

Cea mai apropiată linie este, desigur, mare. Și marginea îndepărtată pare mai mică, o vedem prin cea apropiată.

Acesta este modul în care puteți proiecta un cub în 4 dimensiuni. Cubul este mai mare acum, vedem cubul viitorului în depărtare, deci arată mai mic.

Pe de altă parte. Din partea de sus.

Drept direct din partea feței:

Din partea coastei:

Și ultimul unghi, asimetric. Din secțiunea „Îmi mai spui că m-am uitat între coastele lui”.

Ei bine, atunci poți veni cu orice. De exemplu, întrucât există un măturare a unui cub tridimensional pe un plan (așa trebuie să tăiați o foaie de hârtie pentru a obține un cub atunci când pliați), există și o măturare a unui cub 4-dimensional în spațiu. Este ca și cum ați tăia o bucată de lemn, astfel încât prin plierea acesteia în spațiu 4-dimensional, obținem un tesseract.

Puteți studia nu doar un cub 4-dimensional, ci, în general, cuburi n-dimensionale. De exemplu, este adevărat că raza unei sfere circumscrise în jurul unui cub n-dimensional este mai mică decât lungimea marginii acestui cub? Sau, iată o întrebare mai simplă: câte vârfuri are un cub n-dimensional? Câte muchii (fețe unidimensionale)?

Dacă sunteți un fan al filmelor Avengers, primul lucru care vă vine în minte atunci când auziți cuvântul „Tesseract” este vasul transparent, în formă de cub, al Piatrei Infinite care conține o putere nemărginită.

Pentru fanii Universului Marvel, Tesseract este un cub albastru strălucitor care îi face pe oameni de pe Pământ, dar și de pe alte planete să înnebunească. Acesta este motivul pentru care toți Răzbunătorii s-au unit pentru a proteja pământenii de forțele extrem de distructive ale Tesseractului.

Cu toate acestea, trebuie spus următoarele: Tesseract este un concept geometric propriu-zis, sau mai bine zis, o formă care există în 4D. Acesta nu este doar un cub albastru de la Avengers ... este un concept real.

Tesseract este un obiect în 4 dimensiuni. Dar, înainte de a-l explica în detaliu, să începem de la bun început.

Ce este dimensiunea?

Toată lumea a auzit termenii 2D și 3D, reprezentând respectiv obiecte bidimensionale sau tridimensionale în spațiu. Dar ce sunt acestea?

Măsurarea este pur și simplu direcția pe care o puteți merge. De exemplu, dacă trageți o linie pe o bucată de hârtie, puteți merge fie la stânga / la dreapta (axa x), fie în sus / în jos (axa y). Astfel, spunem că hârtia este bidimensională, deoarece puteți merge doar în două direcții.

Există un sentiment de profunzime în 3D.

Acum, în lumea reală, pe lângă cele două direcții menționate mai sus (stânga / dreapta și sus / jos), puteți merge și „in / out”. Prin urmare, un sentiment de adâncime este adăugat în spațiul 3D. Prin urmare, spunem că viața reală este tridimensională.

Un punct poate reprezenta 0 dimensiuni (deoarece nu se mișcă în nicio direcție), o linie reprezintă 1 dimensiune (lungime), un pătrat reprezintă 2 dimensiuni (lungime și lățime), iar un cub reprezintă 3 dimensiuni (lungime, lățime și înălțime).

Luați un cub 3D și înlocuiți fiecare dintre fețele sale (care este în prezent un pătrat) cu un cub. Așadar! Forma pe care o obțineți este teseractul.

Ce este un teseract?

Pur și simplu, un teseract este un cub într-un spațiu 4-dimensional. Puteți spune, de asemenea, că este un analog 4D al unui cub. Este o formă 4D în care fiecare față este un cub.

Iată o modalitate simplă de a conceptualiza dimensiunile: un pătrat este bidimensional; prin urmare, fiecare dintre colțurile sale are 2 linii care se extind de la un unghi de 90 de grade unul față de celălalt. Cubul este 3D, deci fiecare dintre colțurile sale are 3 linii descendente din el. La fel, teseractul are o formă 4D, astfel încât fiecare colț are 4 linii care se extind de la el.

De ce este dificil să ne imaginăm un teseract?

Deoarece noi, ca oameni, am evoluat pentru a vizualiza obiectele în trei dimensiuni, orice lucru care intră în dimensiuni suplimentare, cum ar fi 4D, 5D, 6D etc., nu are prea mult sens pentru noi, deoarece nu le putem face deloc. imagina. Creierul nostru nu poate înțelege a 4-a dimensiune în spațiu. Pur și simplu nu ne putem gândi la asta.

Tesseract - hipercub cu patru dimensiuni - un cub în spațiul cu patru dimensiuni.
Conform Oxford Dictionary, tesseract a fost inventat și utilizat în 1888 de Charles Howard Hinton (1853-1907) în cartea sa „ Nouă eră gânduri ”. Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură un tetracub (grecesc τετρα - patru) - un cub cu patru dimensiuni.
Un teseract obișnuit în spațiul euclidian cu patru dimensiuni este definit ca carena convexă a punctelor (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:
. Fețe 3D (care sunt cuburi obișnuite) Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) etc. În cele din urmă, un teseract are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 muchii și 16 vârfuri.
Descriere populară
Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.
În „spațiul” unidimensional - pe linie - selectați un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, trageți un segment DC paralel cu acesta și conectați capetele acestora. Rezultatul este un CDBA pătrat. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional CDBAGHFE. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul CDBAGHFEKLJIOPNM.
Segmentul unidimensional AB este latura pătratului bidimensional CDBA, pătratul este latura cubului CDBAGHFE, care, la rândul său, va fi partea hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de delimitare, un pătrat are patru vârfuri, iar un cub are opt. Într-un hipercub cu patru dimensiuni, astfel, vor exista 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 deplasate în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - 12 dau fiecare poziția inițială și finală a cubului original și încă 8 muchii vor „desena” opt dintre vârfurile sale, care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele hipercubului. În spațiul bidimensional, este unul (pătratul în sine), cubul are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și încă patru vor descrie laturile sale). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate de la cele douăsprezece margini ale sale.
Deoarece laturile unui pătrat sunt 4 segmente unidimensionale, iar laturile (fețele) unui cub sunt 6 pătrate bidimensionale, deci pentru un „cub cu patru dimensiuni” (teseract), laturile sunt 8 cuburi tridimensionale. Spațiile perechilor opuse de cuburi teseract (adică spațiile tridimensionale cărora le aparțin aceste cuburi) sunt paralele. În figură, acestea sunt cuburi: CDBAGHFE și KLJIOPNM, CDBAKLJI și GHFEOPNM, EFBAMNJI și GHDCOPLK, CKIAGOME și DLJBHPNF.
Într-un mod similar, putem continua raționamentul pentru hipercuburi cu un număr mai mare de dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, locuitorii spațiului tridimensional. Să folosim metoda analogică familiară pentru aceasta.
Luați un cub de sârmă ABCDHEFG și priviți-l cu un ochi din partea feței. Vom vedea și vom putea desena două pătrate pe plan (fețele sale apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni într-un spațiu tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice inserate una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețele tridimensionale - vor fi proiectate pe spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în direcția celei de-a patra axe. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați un cub nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.
Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea unei fețe, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitată de opt cuburi, care în perspectivă vor arăta ca o figură destul de complexă. Același hipercub cu patru dimensiuni constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.
După ce ați tăiat cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți extinde într-o formă plată - o mătură. Va avea un pătrat pe fiecare parte a feței originale, plus încă unul, fața opusă. Și desfășurarea tridimensională a hipercubului cu patru dimensiuni va consta din cubul inițial, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.
Proprietățile Tesseract sunt continuarea proprietăților figurilor geometrice de dimensiuni mai mici în spațiul cu patru dimensiuni.

O imagine este o proiecție (perspectivă) a unui cub cu patru dimensiuni pe spațiul tridimensional.

Conform Oxford Dictionary, cuvântul „tesseract” a fost inventat și folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853-1907) în cartea sa A New Age of Thought. Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură „tetracube”.

Geometrie

Un teseract obișnuit în spațiul euclidian cu patru dimensiuni este definit ca carena convexă a punctelor (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:

Teseractul este delimitat de opt hiperplane, a căror intersecție cu teseractul în sine definește fețele sale tridimensionale (care sunt cuburi obișnuite). Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, teseractul are 8 fețe 3D, 24 2D, 32 de margini și 16 vârfuri.

Descriere populară

Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.

În „spațiu” unidimensional - pe linie - selectați un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, trageți un segment DC paralel cu acesta și conectați capetele acestora. Rezultatul este un ABCD pătrat. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional ABCDHEFG. Și schimbând cubul în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Segmentul unidimensional AB este latura pătratului bidimensional ABCD, pătratul este latura cubului ABCDHEFG, care, la rândul său, va fi partea hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de delimitare, un pătrat are patru vârfuri, iar un cub are opt. Într-un hipercub cu patru dimensiuni, astfel, vor exista 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 deplasate în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - 12 dau fiecare poziția inițială și finală a cubului original și încă 8 muchii vor „desena” opt dintre vârfurile sale, care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele hipercubului. În spațiul bidimensional, este unul (pătratul în sine), cubul are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și încă patru vor descrie laturile sale). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate de la cele douăsprezece margini ale sale.

Într-un mod similar, putem continua raționamentul pentru hipercuburi cu un număr mai mare de dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, locuitorii spațiului tridimensional. Să folosim metoda analogică familiară pentru aceasta.

Desfășurarea teseractului

Luați un cub de sârmă ABCDHEFG și priviți-l cu un ochi din partea feței. Vom vedea și vom putea desena două pătrate pe plan (fețele sale apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni într-un spațiu tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice inserate una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețele tridimensionale - vor fi proiectate pe spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în a patra dimensiune. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați un cub nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.

Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea unei fețe, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitată de opt cuburi, care în perspectivă vor arăta ca o figură destul de complexă. Partea din ea, care a rămas în spațiul „nostru”, este trasată cu linii solide, iar cea care a intrat în hiperspațiu, cu linii punctate. Același hipercub cu patru dimensiuni constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.

După ce ați tăiat cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți extinde într-o formă plată - o mătură. Va avea un pătrat pe fiecare parte a feței originale plus încă unul - fața opusă acesteia. O desfășurare tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din el, plus încă unul - „hiperfața” finală.

Proprietățile Tesseract sunt continuarea proprietăților figurilor geometrice de dimensiuni inferioare în spațiul cu patru dimensiuni.

Proiecție

În spațiul bidimensional

Această structură este dificilă pentru imaginație, dar este posibilă proiectarea teseractului în spații 2D sau 3D. În plus, proiecția către plan facilitează înțelegerea locației vârfurilor hipercubului. În acest fel, pot fi obținute imagini care nu mai reflectă relații spațiale în teseract, dar care ilustrează structura conexiunilor vertexului, ca în următoarele exemple:


În spațiul tridimensional

Proiecția unui teseract pe un spațiu tridimensional este reprezentată de două cuburi tridimensionale imbricate, ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate prin segmente. Cuburile interioare și exterioare au dimensiuni diferite în spațiul tridimensional, dar în spațiul cu patru dimensiuni sunt cuburi egale. Pentru a înțelege egalitatea tuturor cuburilor tesseractului, a fost creat un model rotativ de tesseract.

Cele șase piramide trunchiate de la marginile teseractului sunt imagini de șase cuburi egale.
Pereche stereo

O stereopare a unui tesseract este descrisă ca două proiecții pe spațiul tridimensional. Această imagine teseract a fost concepută pentru a reprezenta adâncimea ca a patra dimensiune. O stereopare este vizualizată astfel încât fiecare ochi să vadă doar una dintre aceste imagini, apare o imagine stereoscopică care reproduce adâncimea teseractului.

Desfășurarea teseractului

Suprafața unui teseract poate fi extinsă în opt cuburi (similar cu modul în care suprafața unui cub poate fi extinsă în șase pătrate). Există 261 desfășurare teseract diferite. Desfășurarea teseractului poate fi calculată prin desenarea colțurilor conectate pe grafic.

Tesseract în art

În Noua Câmpie Abbott a lui Edwine A., hipercubul este povestitorul.
Într-un episod din Aventurile lui Jimmy Neutron: Genius Boy Jimmy inventează un hipercub în patru dimensiuni identic cu cutia de pliuri din romanul Heinlein din 1963 Road of Glory.
Robert E. Heinlein a menționat hipercuburi în cel puțin trei povești de science fiction. În Casa celor patru dimensiuni (The House That Teale Built) (1940), el a descris o casă construită ca un teseract desfășurat.
Romanul lui Heinlein Road of Glory descrie un fel de mâncare supradimensionat, care era mai mare la interior decât la exterior.
Povestea lui Henry Kuttner „Mimsy Were the Borogoves” descrie o jucărie educațională pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un teseract.
În romanul lui Alex Garland (1999), termenul „tesseract” este folosit pentru desfășurarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni, nu pentru hipercub în sine. Aceasta este o metaforă concepută pentru a arăta că sistemul de cunoaștere ar trebui să fie mai larg decât cel cognitiv.
Cubul 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un hipercub sau o rețea de cuburi conectate.
Seria TV Andromeda folosește generatoare de tesseract ca dispozitiv de conspirație. Ele sunt concepute în primul rând pentru a manipula spațiul și timpul.
Pictura „Răstignirea” (Corpus Hypercubus) de Salvador Dali (1954)
Cartea de benzi desenate Nextwave descrie un vehicul care include 5 zone de tesseract.
Pe albumul Voievod Nothingface, una dintre piese se numește „În hipercubul meu”.
În romanul lui Anthony Pierce „Route Cuba”, una dintre lunile orbite ale Asociației Internaționale de Dezvoltare este numită teseract, care a fost comprimată în 3 dimensiuni.
În seria "Școala" Gaura neagră "din sezonul al treilea există un serial" Tesseract ". Lucas apasă un buton secret și școala începe să prindă formă ca un teseract matematic.
Termenul "tesseract" și termenul "tesseract" derivat din acesta se găsesc în povestea Madeleine L'Engle "The Fold of Time"

Acasă » Instrucțiuni » Cum arată un cub extins? Cub în patru dimensiuni