Hogyan néz ki egy kibővített kocka? Négydimenziós kocka

Hypercube és platon szilárd anyagok

Szimuláljon egy csonka ikozaédert ("futball-labda") a Vector rendszerben
amelyben az egyes ötszögeket hatszögek határolják

Csonka ikozaéder 12 csúcs levágásával kaphatunk felületeket szabályos ötszögek formájában. Ebben az esetben az új poliéder csúcsainak száma ötszörösére növekszik (12 × 5 \u003d 60), 20 háromszög alakú oldal szabályos hatszöggé alakul (összesen az arcok 20 + 12 \u003d 32 lesznek), és az élek száma 30 + 12 × 5 \u003d 90-re nő.

Csonka ikozaéder szerkesztésének lépései a Vector rendszerben

Alakzatok 4 dimenziós térben.

--à

--à ?

Például adott egy kocka és egy hiperkocka. A hiperkockában 24 arc van. Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós oktaédernek 24 csúcsa lesz. Bár nem, a hiperkocka 8 kockás felülettel rendelkezik - mindegyik központnak van egy csúcsa. Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós oktaédernek 8 könnyebb csúcsa lesz.

4-dimenziós oktaéder... Nyolc egyenlő oldalú és egyenlő tetraéderből áll,
mindegyik csúcsán négy csatlakozik.

Ábra: Szimulációs kísérlet
hiperszféra-hiperszféra a "Vector" rendszerben

Elülső és hátsó oldalak - golyók torzítás nélkül. Még hat golyó - ellipszoidokon vagy másodfokú felületeken (4 kontúrvonalon keresztül generátorként) vagy arcokon keresztül (először generátorokon keresztül adható meg).

További trükkök a hiperszféra "felépítésére"
- ugyanaz a "futball labda" 4 dimenziós térben

2. függelék

A domború poliéderek esetében van olyan tulajdonság, amely összeköti csúcsainak, éleinek és arcainak számát, amelyet Leonard Euler 1752-ben bizonyított és Euler tételének hívott.

Mielőtt megfogalmazná, vegye figyelembe az általunk ismert politopokat, és töltse ki a következő táblázatot, amelyben B a csúcsok száma, P az élek és G az adott politop arca:

Ebből a táblázatból közvetlenül látható, hogy az összes kiválasztott polip esetében a B - P + Γ \u003d 2 egyenlőség érvényes. Kiderült, hogy ez az egyenlőség nemcsak ezekre a polipokra érvényes, hanem egy tetszőleges konvex poliéderre is.

Euler tétele. Bármely konvex polip esetében az egyenlőség

B - R + G \u003d 2,

ahol B a csúcsok száma, P az élek száma és G az adott sokszögek arcainak száma.

Bizonyíték.Ennek az egyenlőségnek a bizonyításához képzelje el egy adott poliéder felületét, amely rugalmas anyagból készül. Töröljük (vágjuk ki) az egyik arcát, és nyújtsuk ki a fennmaradó felületet egy síkon. Kapunk egy sokszöget (amelyet a poliéder távoli oldalának szélei alkotnak), kisebb poligonokra osztva (a sokszög többi oldala alkotja).

Ne feledje, hogy a sokszögek deformálódhatnak, nagyíthatók, kicsinyíthetők vagy akár görbülhetnek is az oldalukon, amennyiben az oldalak nem törnek el. Ez nem változtatja meg a csúcsok, élek és arcok számát.

Bizonyítsuk be, hogy a sokszög kisebb sokszögekké történő felosztásához az egyenlőség

(*) B - R + G "\u003d 1,

ahol В a csúcsok teljes száma, Р az élek teljes száma, és Г "a partícióba beillesztett sokszögek száma. Világos, hogy Г" \u003d Г - 1, ahol Г egy adott poliéder arcainak száma.

Bizonyítsuk be, hogy az egyenlőség (*) nem változik, ha egy átlót rajzolunk az adott partíció valamely sokszögébe (5. ábra, a). Valójában egy ilyen átló átrajzolása után az új partíció B csúcsokat, P + 1 éleket tartalmaz, és a sokszögek száma eggyel nő. Ezért van

B - (P + 1) + (G "+1) \u003d B - P + G" .

Ennek a tulajdonságnak a segítségével átlókat rajzolunk, amelyek háromszögekre osztják a bejövő sokszögeket, és az így kapott partícióra megmutatjuk, hogy az egyenlőség (*) teljesül (5. ábra, b). Ehhez következetesen eltávolítjuk a külső széleket, csökkentve a háromszögek számát. Ebben az esetben két eset lehetséges:

a) a háromszög eltávolításához ABC esetünkben két borda eltávolítása szükséges AB és időszámításunk előtt;

b) a háromszög eltávolításáhozMKN esetünkben az egyik él eltávolítása szükségesMN.

Mindkét esetben az egyenlőség (*) nem változik. Például az első esetben a háromszög törlése után a grafikon B - 1 csúcsokból, P - 2 élekből és G "- 1 sokszögből áll:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - P + G".

Fontolja meg egyedül a második esetet.

Így egy háromszög eltávolítása nem változtatja meg az egyenlőséget (*). Ezt a háromszög törlési folyamatot folytatva végül egy háromszögből álló partícióhoz érkezünk. Ilyen partíció esetén B \u003d 3, P \u003d 3, Γ "\u003d 1, ezért B - P + Γ" \u003d 1. Ezért az egyenlőség (*) az eredeti partícióra is érvényes, honnan ezt végül megkapjuk a sokszög adott partíciójára az egyenlőség (*) igaz. Így az eredeti domború politopra a B - P + Γ \u003d 2 egyenlőség igaz.

Példa egy sokszögre, amelyre az Euler-reláció nem érvényes, Ennek a sokszögnek 16 csúcsa, 32 éle és 16 oldala van. Tehát ennél a poliédernél a B - P + Γ \u003d 0 egyenlőség érvényes.

3. függelék

Filmkocka 2: Hipercube "(angolul Cube 2: Hypercube) - egy fantasztikus film, a" Cube "film folytatása.

Nyolc idegen ébred fel a kocka alakú helyiségekben. A szobák egy négydimenziós hiperkocka belsejében találhatók. A szobák "kvantumteleportálással" folyamatosan mozognak, és ha felmászik a szomszéd szobába, akkor a való visszatérés már nem valószínű. A hiperkockában a párhuzamos világok keresztezik egymást, az idő egyes helyiségekben különböző módon áramlik, és néhány szoba halálcsapda.

A cselekmény szempontjából a kép nagyrészt megismétli az első rész történetét, ami egyes szereplők képein is megmutatkozik. Meghal a hiperkocka szobáiban nobel díjas Rosenzweig, aki kiszámította a hiperkocka megsemmisítésének pontos idejét.

Kritika

Ha az első részben egy labirintusba zárt emberek megpróbáltak segíteni egymásnak, akkor ebben a filmben ez minden ember maga. Nagyon sok felesleges speciális effekt van (ezek csapdák), amelyek logikailag nem kötik össze a film ezen részét az előzővel. Vagyis kiderül, hogy a Cube 2 című film - ez egyfajta labirintus a jövő 2020-2030-as útvesztőjéhez, de nem 2000. Az első részben elméletileg mindenféle csapdát létrehozhat az ember. A második részben ezek a csapdák egy számítógépes program, az úgynevezett "virtuális valóság".

Amint előadást tarthattam a műtét után, a hallgatók első kérdése:

Mikor rajzol nekünk egy 4 dimenziós kockát? Ilyas Abdulkhaevich megígérte nekünk!

Emlékszem, hogy kedves barátaim néha kedvelik a matematikai oktatási program egy pillanatát. Ezért ide írok egy előadást matematikusoknak. És megpróbálom unalom nélkül. Bizonyos pontokon természetesen szigorúbban olvastam az előadást.

Előbb állapodjunk meg. A 4-dimenziós, és még inkább az 5-6-7- és általában a k-dimenziós tér nem adódik nekünk szenzoros érzésekben.
"Sanyarúak vagyunk, mert csak háromdimenziósak vagyunk" - mondta a vasárnapi iskolai tanárnőm, aki elsőként elmondta, mi az a 4 dimenziós kocka. A vasárnapi iskola természetesen rendkívül vallásos volt - matematika. Abban az időben hiperkockákat vizsgáltunk. Egy héttel ezelõtt, a matematikai indukció, egy héttel azután Hamilton-féle grafikonon ciklusok - illetve ez a 7. fokozat.

Nem érhetünk meg, nem érezhetünk illatot, hallhatunk és nem láthatunk egy 4 dimenziós kockát. Mit tehetnénk vele? El tudjuk képzelni! Mivel az agyunk sokkal összetettebb, mint a szemünk és a kezünk.

Tehát annak megértése érdekében, hogy mi is egy 4 dimenziós kocka, először meg kell értenünk, mi áll a rendelkezésünkre. Mi az a háromdimenziós kocka?

OKÉ OKÉ! Nem kérek tőled egyértelmű matematikai meghatározást. Képzelje csak el a legegyszerűbb és leggyakoribb háromdimenziós kockát. Bemutatta?

Jó.
Annak érdekében, hogy megértsük, hogyan lehet általánosítani egy háromdimenziós kockát egy 4-dimenziós térké, derítsük ki, mi is az a kétdimenziós kocka. Tehát egyszerű - ez egy négyzet!

A négyzet 2 koordinátával rendelkezik. A kocka három. A négyzet pontjai két koordinátájú pontok. Az első 0-tól 1-ig. A második 0-tól 1-ig. A kocka pontjai három koordinátával rendelkeznek. És mindegyik tetszőleges szám 0 és 1 között.

Logikus elképzelni, hogy egy 4 dimenziós kocka olyan dolog, 4 koordinátával és 0-tól 1-ig.

/ * Logikus egy 1 dimenziós kockát is elképzelni, amely nem más, mint egy egyszerű 0 és 1 közötti szegmens. * /

Szóval, állj meg, hogyan rajzolsz egy 4 dimenziós kockát? Végül is nem rajzolhatunk 4-dimenziós teret egy síkra!
De nem is rajzolunk háromdimenziós teret egy síkra, hanem megrajzoljuk kivetítés rá a rajz kétdimenziós síkjára. A harmadik koordinátát (z) szögben helyezzük el, és azt képzeljük el, hogy a rajz síkjától számított tengely "felénk" megy.

Most már teljesen világos, hogyan lehet 4 dimenziós kockát rajzolni. Ugyanúgy, ahogyan a harmadik tengelyt egy bizonyos szögbe helyeztük, vegyük a negyedik tengelyt, és egy bizonyos szögben is helyezzük el.
És voila! - egy 4 dimenziós kocka vetítése egy síkra.

Mit? Mi ez egyébként? Mindig suttogást hallok a hátsó íróasztalokról. Hadd magyarázzam el részletesebben, mi ez a sorok rendetlensége.
Először nézze meg a 3D kockát. Mit tettünk? Vettünk egy négyzetet, és végighúztuk a harmadik tengelyen (z). Olyan, mint sok-sok papír négyzet, egy halomban összeragasztva.
Ugyanez a helyzet egy 4 dimenziós kockával is. Hívjuk a negyedik tengelyt "időtengelynek" kényelem és tudományos-fantasztikus célokból. Vennünk kell egy közönséges háromdimenziós kockát, és időben "most" időnként "egy órán belül" időnként húzni.

Van egy most kockánk. A képen rózsaszínű.

És most a negyedik tengely mentén húzzuk - az idő tengely mentén (zölden mutattam). És megkapjuk a jövő kockáját - kéket.

A "most kocka" minden csúcsa nyomot hagy az időben - egy szegmenst. Összekapcsolva jelenét a jövőjével.

Röviden, dalszöveg nélkül: két egyforma háromdimenziós kockát rajzoltunk, és összekötöttük a megfelelő csúcsokat.
Ugyanúgy, ahogy a háromdimenziós kockával tettük (rajzoljon 2 egyforma, kétdimenziós kockát és kösse össze a csúcsokat).

Ötdimenziós kocka megrajzolásához le kell rajzolni a 4 dimenziós kocka két másolatát (egy 4-dimenziós kockát, amelynek ötödik koordinátája 0, és egy 4-dimenziós kockát, amelynek ötödik koordinátája 1), és össze kell kötni a megfelelő csúcsokat élekkel. Igaz, a síkon olyan élek keveredése fog kijönni, hogy szinte lehetetlen lesz bármit is megérteni.

Amikor elképzeltünk egy 4 dimenziós kockát, és még meg is rajzoltuk, bármilyen módon felfedezhetjük. Ne felejtsd el felfedezni mind elmédben, mind a képen.
Például. A kétdimenziós kockát 4 oldalról 1dimenziós kockák határolják. Ez logikus: a 2 koordináta mindegyikének van kezdete és vége is.
A háromdimenziós kockát 6 oldalról kétdimenziós kockák határolják. A három koordináta mindegyikének van kezdete és vége.
Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós kockát nyolc háromdimenziós kockára kell korlátozni. Mind a 4 koordináta - mindkét oldalon. A fenti képen egyértelműen 2 arcot látunk, amelyek az "idő" koordinátán végig kötik.

Itt van két kocka (kissé ferdeek, mert 2 dimenziója van egy szöget vetítve egy síkra), amelyek hiperkockánkat balra és jobbra korlátozzák.

Könnyű észrevenni a "tetejét" és az "alját" is.

A legnehezebb vizuálisan megérteni, hogy hol van az "elülső" és a "hátsó". Az elülső a "most kocka" elülső oldalától és a "jövő kocka" elülső oldalától indul - piros. Hátsó, ill.

Ezeket a legnehezebb észrevenni, mert más kockák szövődnek a lábad alatt, amelyek a hiperkockát más vetített koordinátára kényszerítik. De vegye figyelembe, hogy a kockák még mindig mások! Itt van egy másik kép, ahol a "most kocka" és a "jövő kocka" van kiválasztva.

Természetesen kivetíthet egy 4 dimenziós kockát 3 dimenziós térbe.
Az első lehetséges térbeli modell egyértelmű, hogy néz ki: 2 kockacsővázat kell venni, és a megfelelő csúcsokat egy új éllel kell összekötni.
Most nincs ilyen modellem. Az előadásban bemutatom a hallgatóknak egy 4 dimenziós kocka kissé eltérő 3-dimenziós modelljét.

Tudod, hogyan vetítik ki egy kockát egy ilyen síkra.
Mintha egy kockát felülről néznénk.

A legközelebbi vonal természetesen nagy. És a túlsó szél kisebbnek tűnik, a közeli oldalon keresztül látjuk.

Így vetíthet egy 4 dimenziós kockát. A kocka most nagyobb, a jövő kockáját látjuk a távolban, így kisebbnek tűnik.

Másrészről. A teteje oldaláról.

Egyenesen az arc oldaláról:

A borda oldaláról:

És az utolsó szög, aszimmetrikus. A "Te is mondod, hogy a bordái közé néztem" szakaszból.

Nos, akkor bármire előállhat. Például, akárcsak egy háromdimenziós kocka kifejlesztése síkban (így kell kivágni egy papírlapot, hogy összecsukáskor kocka jöjjön létre), itt is van egy 4 dimenziós kocka pásztázása az űrbe. Olyan, mintha kivágnánk egy fadarabot, hogy ha 4 dimenziós térbe hajtogatnánk, tesseractot kapjunk.

Tanulmányozhat nemcsak egy 4 dimenziós kockát, hanem általában az n dimenziós kockákat is. Például igaz-e, hogy egy n dimenziós kocka körül körülírt gömb sugara kisebb, mint e kocka szélének hossza? Vagy itt egy egyszerűbb kérdés: hány csúcsa van egy n-dimenziós kockának? Hány él (1 dimenziós arc)?

Ha rajongsz a Bosszúállók filmekért, akkor a "Tesseract" szó hallatán először az jut eszedbe, hogy a Végtelen Kő átlátszó kocka alakú edénye határtalan erőt tartalmaz.

A Marvel Univerzum rajongói számára a Tesseract egy izzó kék kocka, amely nemcsak a Földről, de más bolygókról is megőrül. Ezért az összes Bosszúálló összefogott, hogy megvédje a földi embereket a Tesseract rendkívül pusztító erőitől.

Ugyanakkor a következőket kell mondani: A Tesseract egy tényleges geometriai fogalom, vagy inkább egy forma, amely a 4D-ben létezik. Ez nem csak egy kék kocka a Bosszúállóktól ... ez egy igazi koncepció.

A Tesseract egy 4 dimenziós objektum. Mielőtt azonban részletesen elmagyaráznánk, kezdjük a kezdetektől.

Mi a dimenzió?

Mindenki hallotta a 2D és a 3D kifejezéseket, amelyek két- vagy háromdimenziós tárgyakat jelentenek az űrben. De mik ezek?

A mérés egyszerűen az az irány, ahová mehet. Például, ha egy vonalat rajzol egy papírra, akkor léphet balra / jobbra (x tengely) vagy fel / le (y tengely). Így azt mondjuk, hogy a papír kétdimenziós, mivel csak két irányban lehet járni.

A 3D-ben van mélységérzet.

Most, a való világban, a fent említett két irány mellett (bal / jobb és fel / le), „be / ki” is lehet menni. Ezért a 3D térben hozzáadódik a mélység érzése. Ezért azt mondjuk, hogy a való élet háromdimenziós.

Egy pont 0 dimenziót képviselhet (mivel nem mozog egyetlen irányban sem), egy vonal 1 dimenziót (hosszúságot), egy négyzet 2 dimenziót (hossz és szélesség), egy kocka pedig 3 dimenziót (hossz, szélesség és magasság).

Vegyünk egy 3D-s kockát, és minden arcot (amely jelenleg négyzet alakú) cseréljünk egy kockára. És aztán! A kapott alak a tesseract.

Mi a tesseract?

Egyszerűen fogalmazva: a tesseract egy kocka 4 dimenziós térben. Mondhatjuk azt is, hogy ez egy kocka 4D-s analógja. Ez egy 4D alakzat, ahol minden arc kocka.

Itt van egy egyszerű módszer a dimenziók konceptualizálására: a négyzet kétdimenziós; ezért minden sarkának 2 vonala húzódik ki tőle 90 fokos szögben egymás felé. A kocka 3D, így minden sarkában 3 vonal esik le. Hasonlóképpen, a tesseract egy 4D alakú, így minden sarokban 4 vonal húzódik ki.

Miért nehéz elképzelni egy tesseractot?

Mivel emberként úgy fejlődtünk, hogy három dimenzióban jelenítsük meg az objektumokat, bármi, ami extra dimenziókba megy, mint a 4D, 5D, 6D stb., Nincs sok értelme számunkra, mert egyáltalán nem tudjuk megtenni őket. Képzeld el. Az agyunk nem tudja megérteni az űrben a 4. dimenziót. Csak nem gondolhatunk rá.

Tesseract - négydimenziós hiperkocka - egy kocka négydimenziós térben.
Az Oxfordi Szótár szerint a tesseractot 1888-ban hozta létre és használta Charles Howard Hinton (1853-1907) könyvében „ Új kor gondolatok ". Később egyesek ugyanazt az alakot tetracubának (görögül τετρα - négy) nevezték - négydimenziós kockának.
Az euklideszi négydimenziós térben a hétköznapi tesseraktát a pontok domború héjaként definiálják (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:
[-1, 1] ^ 4 \u003d ((x_1, x_2, x_3, x_4): -1 \u003d A tesseraktust nyolc hipersík határolja x_i \u003d + - 1, i \u003d 1,2,3,4, amelyek metszéspontja a tesseracttal maga határozza meg 3D-s arcok (amelyek rendes kockák) A nem párhuzamos 3D-s arcok minden párja keresztezi egymást, így 2D-s arcokat (négyzeteket) stb. Alkotva. Végül egy tesseract-nak 8 3D-s oldala, 24 2D-s oldala, 32 éle és 16 csúcsa van.
Népszerű leírás
Próbáljuk meg elképzelni, hogy fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagynánk a háromdimenziós teret.
Az egydimenziós "térben" - egy vonalon - válassza ki az L hosszúságú AB szegmenst. Egy kétdimenziós síkon, AB távolságtól L távolságra, rajzoljon vele párhuzamosan egy DC szakaszt, és kösse össze a végeiket. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet megismételve a síkkal, egy háromdimenziós kocka CDBAGHFE-t kapunk. És a kockát a negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) L távolsággal eltolva megkapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.
Az egydimenziós AB szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldala, a négyzet a CDBAGHFE kocka oldala, amely viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, egy négyzetnek négy csúcsa, egy kockának pedig nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában tehát 16 csúcs lesz: az eredeti kocka 8 csúcsa és 8 a negyedik dimenzióban tolódik el. 32 éllel rendelkezik - 12 mindegyik adja meg az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét, és további 8 él nyolc "csúcsot" rajzol meg, amelyek a negyedik dimenzióba költöztek. Ugyanezt az érvelést lehet megtenni a hiperkocka arcai esetében is. Kétdimenziós térben egy (maga a négyzet), a kockának 6 van belőle (két oldal a mozgatott négyzetből és további négy írja le az oldalát). Egy négydimenziós hiperkocka 24 négyzet alakú lapokkal rendelkezik - az eredeti kocka 12 négyzete két helyzetben, 12 négyzete pedig tizenkét élétől.
Mivel egy négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmensek, a kocka oldalai (felületei) pedig 6 kétdimenziós négyzetek, így egy "négydimenziós kocka" (tesseract) esetében az oldalak 8 háromdimenziós kockák. A tesserakt kockák ellentétes párjainak terei (vagyis a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.
Hasonló módon folytathatjuk a nagyobb dimenziószámú hiperkockák érvelését, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni egy négydimenziós hiperkocka számunkra, a háromdimenziós tér lakói számára. Használjuk ehhez a megszokott analógia módszert.
Vegyünk egy ABCDHEFG huzalkockát, és az egyik szemünkkel nézzünk rá az arc oldaláról. Két négyzetet fogunk látni és meg tudunk rajzolni a síkon (annak közeli és távoli oldala), négy vonallal összekötve - oldalsó élekkel. Hasonlóképpen, a háromdimenziós térben egy négydimenziós hiperkocka két köbös "doboznak" fog kinézni, amelyek egymásba vannak helyezve és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a "dobozok" - háromdimenziós arcok - vetülnek a "mi" térre, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Azt is megpróbálhatja elképzelni egy kockát, hogy ne vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.
Ahogy a háromdimenziós kockát egy arc hossza által eltolt négyzet alkotja, a negyedik dimenzióba tolódott kocka hiperkockát képez. Nyolc kocka korlátozza, amely perspektívában meglehetősen összetett alaknak fog kinézni. Ugyanez a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogyan egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet "vágni".
Miután levágta egy háromdimenziós kocka hat oldalát, kiterjesztheti lapos alakúra - söpréssé. Négyzete lesz az eredeti arc mindkét oldalán, plusz még egy - a vele ellentétes arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontakozása pedig a kezdeti kockából, hat abból "növekvő" kockából és még egyből - a végső "hiperfelületből" fog állni.
A Tesseract tulajdonságok az alsó dimenziójú geometriai ábrák tulajdonságainak folytatása a négydimenziós térben.

A kép egy négydimenziós kocka vetülete (perspektívája) egy háromdimenziós térre.

Az Oxfordi Szótár szerint a tesseract szót 1888-ban találta ki és használta Charles Howard Hinton (1853-1907) A gondolkodás új kora című könyvében. Később egyesek ugyanazt az alakot "tetracubának" nevezték.

Geometria

Az euklideszi négydimenziós térben a hétköznapi tesseract a pontok domború héja (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:

A tesseraktát nyolc hipersík határolja, amelyek metszéspontja a tesseracttal maga határozza meg háromdimenziós felületeit (amelyek rendes kockák). A nem párhuzamos 3D-s arcok minden párja keresztezi a 2D-s arcokat (négyzeteket) stb. Végül a tesseractnak 8 3D oldala, 24 2D, 32 éle és 16 csúcsa van.

Népszerű leírás

Próbáljuk meg elképzelni, hogy fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagynánk a háromdimenziós helyet.

Az egydimenziós "térben" - a vonalon - válassza ki az L hosszúságú AB szegmenst. Egy kétdimenziós síkon, AB távolságtól L távolságra húzva rajzoljon vele párhuzamosan egy DC szakaszt és kösse össze a végeiket. Az eredmény egy négyzet alakú ABCD. Ezt a műveletet megismételve a síkkal kapunk egy háromdimenziós ABCDHEFG kockát. És a kockát a negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) L távolsággal eltolva kapjuk az ABCDEFGHIJKLMNOP hiperkockát.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Az egydimenziós AB szegmens az ABCD kétdimenziós négyzet oldala, a négyzet az ABCDHEFG kocka oldala, amely viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, egy négyzetnek négy csúcsa, egy kockának pedig nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában tehát 16 csúcs lesz: az eredeti kocka 8 csúcsa és 8 a negyedik dimenzióban tolódik el. 32 éllel rendelkezik - 12 mindegyik adja meg az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét, és további 8 él nyolc "csúcsot" rajzol meg, amelyek a negyedik dimenzióba költöztek. Ugyanezt az érvelést lehet megtenni a hiperkocka arcai esetében is. Kétdimenziós térben egy (maga a négyzet), a kockának 6 van belőle (két oldal a mozgatott négyzetből és további négy írja le az oldalát). Egy négydimenziós hiperkocka 24 négyzet alakú lapokkal rendelkezik - az eredeti kocka 12 négyzete két helyzetben, 12 négyzete pedig tizenkét élétől.

Hasonló módon folytathatjuk a nagyobb dimenziószámú hiperkockák érvelését, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni egy négydimenziós hiperkocka számunkra, a háromdimenziós tér lakói számára. Használjuk ehhez a megszokott analógia módszert.

A tesseract kibontása

Vegyünk egy ABCDHEFG huzalkockát, és az egyik szemünkkel nézzünk rá az arc oldaláról. Két négyzetet fogunk látni és meg tudunk rajzolni a síkon (annak közeli és távoli oldala), négy vonallal összekötve - oldalsó élekkel. Hasonlóképpen, a háromdimenziós térben lévő négydimenziós hiperkocka két köbös "doboznak" fog kinézni, amelyek egymásba vannak helyezve és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a "dobozok" - háromdimenziós arcok - vetülnek a "mi" térre, és az őket összekötő vonalak a negyedik dimenzióban fognak megnyúlni. Azt is megpróbálhatja elképzelni egy kockát, hogy ne vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.

Ahogy a háromdimenziós kockát egy arc hossza által eltolt négyzet alkotja, a negyedik dimenzióba tolódott kocka hiperkockát képez. Nyolc kocka korlátozza, amely perspektívában meglehetősen összetett alaknak tűnik. A "mi" térben maradt része szilárd vonalakkal, a hipertérbe került rész pedig szaggatott vonalakkal van megrajzolva. Ugyanez a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogyan egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet "vágni".

Miután levágta egy háromdimenziós kocka hat oldalát, kiterjesztheti lapos alakúra - söpréssé. Négyzete lesz az eredeti arc mindkét oldalán, plusz még egy - a vele ellentétes arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontakozása pedig az eredeti kockából, hat belőle "növő" kockából, valamint még egyből - a végső "hiperfelületből" fog állni.

A Tesseract tulajdonságok az alacsonyabb méretű geometriai ábrák tulajdonságainak folytatása a négydimenziós térben.

Kivetítés

Kétdimenziós térbe

Ez a szerkezet nehéz a képzelet számára, de a tesseract 2D vagy 3D terekbe vetíthető. Ezenkívül a síkra vetítés megkönnyíti a hiperkocka csúcsainak helyének megértését. Ily módon olyan képek nyerhetők, amelyek már nem tükrözik a tesseract térbeli viszonyait, de a csúcskapcsolatok szerkezetét szemléltetik, például a következő példákban:


Háromdimenziós térbe

A tesseract vetületét egy háromdimenziós térre két beágyazott háromdimenziós kocka képviseli, amelyeknek megfelelő csúcsait szegmensek kötik össze. A belső és külső kockák különböző méretűek a háromdimenziós térben, de a négydimenziós térben egyenlő kockák. A tesseract összes kockájának egyenlőségének megértése érdekében forgó tesseract modellt hoztak létre.

A tesseract szélén levő hat csonka piramis egyenlő hat kocka képe.
Sztereó pár

A tesseract sztereopárját két vetületként ábrázolják a háromdimenziós térben. Ezt a tesseract képet úgy tervezték, hogy negyedik dimenzióként képviselje a mélységet. A sztereopárt úgy tekintik meg, hogy mindkét szem csak az egyik képet lássa, megjelenik egy sztereoszkópikus kép, amely megismétli a tesseract mélységét.

A tesseract kibontása

A tesseract felülete nyolc kockára bővíthető (hasonlóan ahhoz, ahogy egy kocka felülete hat négyzetre bővíthető). 261 különböző tesseract bontakozik ki. A tesserakt kibontakozása kiszámítható, ha összekapcsolt sarkokat rajzolunk a grafikonra.

Tesseract a művészetben

Edwine A. New Abbott Plain-jában a hiperkocka a mesemondó.
A Jimmy Neutron kalandjai egyik epizódjában: A géniusz fiú Jimmy egy négydimenziós hiperkockát talál ki, amely megegyezik a foldleinnel Heinlein 1963-ban megjelent Road of Glory című regényében.
Robert E. Heinlein legalább három tudományos-fantasztikus történetben megemlítette a hiperkockákat. A Négy dimenziós házban (A ház, amelyet Teale épített) (1940) egy házat egy tesseract kibontakozásaként írt le.
Heinlein A dicsőség útja című regénye egy túlméretes ételt ír le, amely nagyobb volt belülről, mint kívülről.
Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" című története a távoli jövőből származó gyermekek számára készült oktatási játékot ír le, amely felépítésében hasonló a tesseract-hoz.
Alex Garland (1999) regényében a "tesseract" kifejezést egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontakozására használják, nem magát a hiperkockát. Ez egy metafora, amelynek célja annak bemutatása, hogy a megismerő rendszernek szélesebbnek kell lennie, mint a megismerhető rendszernek.
2. kocka: A hiperkocka nyolc idegenre összpontosít, amelyek egy hiperkocka vagy összekapcsolt kockák hálózatának csapdájában vannak.
Az Andromeda tévésorozat összeesküvési eszközként tesseract generátorokat használ. Elsősorban a tér és az idő manipulálására szolgálnak.
Salvador Dali (1954) "Keresztre feszítés" (Corpus Hypercubus) festménye
A Nextwave képregény olyan járművet ábrázol, amely 5 tesseract zónát tartalmaz.
A Voivod Nothingface album egyik dalának neve "In my hypercube".
Anthony Pierce "Route Cuba" című regényében a Nemzetközi Fejlesztési Szövetség egyik keringő holdját tesseractnak nevezik, amelyet 3 dimenzióba tömörítettek.
Az "Iskola" fekete lyuk "sorozatban a harmadik évadban van egy" Tesseract "sorozat. Lucas megnyom egy titkos gombot, és az iskola úgy kezd formálódni, mint egy matematikai tesseract.
A "tesseract" és az ebből származó "tessellate" kifejezés megtalálható Madeleine L'Engle "The Fold of Time" című történetében.

itthon » Utasítás » Hogyan néz ki egy kibővített kocka? Négydimenziós kocka