À quoi ressemble un cube développé? Cube à quatre dimensions

Hypercube et solides platoniques

Simuler un icosaèdre tronqué ("ballon de football") dans le système Vector
dans lequel chaque pentagone est délimité par des hexagones

Icosaèdre tronqué peut être obtenu en découpant 12 sommets pour former des faces en forme de pentagones réguliers. Dans ce cas, le nombre de sommets du nouveau polyèdre augmente 5 fois (12 × 5 \u003d 60), 20 faces triangulaires se transforment en hexagones réguliers (au total les visages deviennent 20 + 12 \u003d 32), et le nombre d'arêtes augmente à 30 + 12 × 5 \u003d 90.

Étapes de construction d'un icosaèdre tronqué dans le système Vector

Formes dans un espace à 4 dimensions.

--à

--à ?

Par exemple, étant donné un cube et un hypercube. Il y a 24 faces dans un hypercube. Cela signifie qu'un octaèdre à 4 dimensions aura 24 sommets. Bien que non, un hypercube a 8 faces de cubes - chaque centre a un sommet. Cela signifie qu'un octaèdre à 4 dimensions aura 8 sommets plus faciles.

Octaèdre en 4 dimensions... Il se compose de huit tétraèdres équilatéraux et égaux,
reliés par quatre à chaque sommet.

Figure: Tentative de simulation
hypersphère-hypersphère dans le système "Vector"

Face avant - arrière - balles sans distorsion. Six autres boules - vous pouvez spécifier via des ellipsoïdes ou des surfaces quadratiques (via 4 lignes de contour en tant que générateurs) ou via des faces (d'abord spécifiées via des générateurs).

Plus d'astuces pour «construire» une hypersphère
- le même "ballon de foot" dans un espace à 4 dimensions

Annexe 2

Pour les polyèdres convexes, il existe une propriété qui relie le nombre de ses sommets, arêtes et faces, prouvée en 1752 par Leonard Euler, et appelée théorème d'Euler.

Avant de le formuler, considérez les polytopes que nous connaissons et remplissez le tableau suivant, dans lequel B est le nombre de sommets, P les arêtes et G les faces d'un polytope donné:

D'après ce tableau, on voit directement que pour tous les polytopes sélectionnés, l'égalité B - P + Γ \u003d 2. Il s'avère que cette égalité est valable non seulement pour ces polytopes, mais aussi pour un polyèdre convexe arbitraire.

Théorème d'Euler. Pour tout polytope convexe, l'égalité

B - R + G \u003d 2,

où B est le nombre de sommets, P est le nombre d'arêtes et G est le nombre de faces d'un polyèdre donné.

Preuve.Pour prouver cette égalité, nous représentons la surface d'un polyèdre donné constitué d'un matériau élastique. Supprimons (découpons) une de ses faces et étirons la surface restante sur un plan. On obtient un polygone (formé par les arêtes de la face distante du polyèdre), divisé en polygones plus petits (formés par les autres faces du polyèdre).

Notez que les polygones peuvent être déformés, agrandis, réduits ou même courbés sur leurs côtés, tant que les côtés ne se cassent pas. Cela ne modifie pas le nombre de sommets, d'arêtes et de faces.

Prouvons que pour la partition résultante d'un polygone en polygones plus petits, l'égalité

(*) B - R + G "\u003d 1,

où В est le nombre total de sommets, Р est le nombre total d'arêtes et Г "est le nombre de polygones inclus dans la partition. Il est clair que Г" \u003d Г - 1, où Г est le nombre de faces d'un polyèdre donné.

Prouvons que l'égalité (*) ne change pas si une diagonale est dessinée dans un polygone de la partition donnée (Fig. 5, a). En effet, après avoir tracé une telle diagonale, la nouvelle partition contiendra B sommets, P + 1 arêtes, et le nombre de polygones augmentera de un. Par conséquent, nous avons

B - (P + 1) + (G "+1) \u003d B - P + G" .

En utilisant cette propriété, nous dessinons des diagonales divisant les polygones entrants en triangles, et pour la partition résultante, nous montrons que l'égalité (*) est satisfaite (Fig. 5, b). Pour ce faire, nous supprimerons systématiquement les bords extérieurs, réduisant ainsi le nombre de triangles. Dans ce cas, deux cas sont possibles:

a) pour supprimer le triangle abc il faut retirer deux côtes, dans notre cas UN B et avant JC;

b) pour supprimer le triangleMKN il est nécessaire de supprimer un bord, dans notre casMN.

Dans les deux cas, l'égalité (*) ne changera pas. Par exemple, dans le premier cas, après avoir supprimé le triangle, le graphe sera composé de B - 1 sommets, P - 2 arêtes et G "- 1 polygone:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - P + G".

Considérez le deuxième cas par vous-même.

Ainsi, supprimer un triangle ne change pas l'égalité (*). En poursuivant ce processus de suppression des triangles, nous arriverons finalement à un pavage constitué d'un triangle. Pour une telle partition, B \u003d 3, P \u003d 3, Γ "\u003d 1 et, par conséquent, B - P + Γ" \u003d 1. Par conséquent, l'égalité (*) vaut également pour la partition d'origine, d'où nous obtenons finalement celle pour une partition donnée du polygone l'égalité (*) est vraie. Ainsi, pour le polytope convexe d'origine, l'égalité B - P + Γ \u003d 2 est vraie.

Un exemple de polyèdre pour lequel la relation d'Euler ne tient pas, illustré à la figure 6. Ce polyèdre a 16 sommets, 32 arêtes et 16 faces. Ainsi, pour ce polyèdre, l'égalité B - P + Γ \u003d 0 est vraie.

Annexe 3.

Film Cube 2: Hypercube "(eng. Cube 2: Hypercube) - film de science-fiction, la suite du film" Cube ".

Huit étrangers se réveillent dans des pièces en forme de cube. Les salles sont situées à l'intérieur d'un hypercube à quatre dimensions. Les pièces se déplacent constamment par "téléportation quantique", et si vous montez dans la pièce voisine, il est peu probable qu'il revienne à l'ancienne. Dans un hypercube, des mondes parallèles se croisent, le temps s'écoule dans certaines pièces de différentes manières, et certaines pièces sont des pièges mortels.

L'intrigue de l'image reprend en grande partie l'histoire de la première partie, qui se reflète également dans les images de certains des personnages. Meurt dans les chambres de l'hypercube lauréat du Prix Nobel Rosenzweig, qui a calculé l'heure exacte de la destruction de l'hypercube.

Critique

Si dans la première partie des personnes emprisonnées dans un labyrinthe essayaient de s'entraider, dans ce film chacun est pour soi. Il y a beaucoup d'effets spéciaux inutiles (ce sont des pièges) qui ne relient pas logiquement cette partie du film à la précédente. Autrement dit, le film Cube 2 s'avère - c'est une sorte de labyrinthe du futur 2020-2030, mais pas 2000. Dans la première partie, toutes sortes de pièges peuvent théoriquement être créés par une personne. Dans la seconde partie, ces pièges sont un programme informatique, appelé «réalité virtuelle».

Dès que j'ai pu donner un cours après l'opération, la toute première question posée par les étudiants:

Quand allez-vous dessiner un cube en 4 dimensions pour nous? Ilyas Abdulkhaevich nous a promis!

Je me souviens que mes chers amis aiment parfois un moment de programme d'enseignement mathématique. Par conséquent, j'écrirai ici un extrait de ma conférence pour les mathématiciens. Et j'essaierai sans ennui. À certains moments, j'ai lu la conférence plus strictement, bien sûr.

Soyons d'accord d'abord. L'espace à 4 dimensions, et plus encore 5-6-7- et généralement k dimensionnel ne nous est pas donné dans les sensations sensorielles.
«Nous sommes malheureux parce que nous ne sommes que tridimensionnels», a déclaré mon professeur de l'école du dimanche, qui a été le premier à me dire ce qu'est un cube à quatre dimensions. L'école du dimanche était, bien sûr, extrêmement religieuse - les mathématiques. Cette fois, nous avons étudié les hyper-cubes. Une semaine avant cela, induction mathématique, une semaine après cela, hamiltoniens cycles dans les graphiques - respectivement, c'est la 7e année.

Nous ne pouvons pas toucher, sentir, entendre ou voir un cube en 4 dimensions. Que pouvons-nous en faire? On peut l'imaginer! Parce que notre cerveau est beaucoup plus complexe que nos yeux et nos mains.

Donc, pour comprendre ce qu'est un cube en 4 dimensions, comprenons d'abord ce qui nous est disponible. Qu'est-ce qu'un cube en 3 dimensions?

OK OK! Je ne vous demande pas une définition mathématique claire. Imaginez simplement le cube tridimensionnel le plus simple et le plus courant. Avez-vous présenté?

Bien.
Afin de comprendre comment généraliser un cube à 3 dimensions dans un espace à 4 dimensions, voyons ce qu'est un cube à 2 dimensions. C'est donc simple - c'est un carré!

Le carré a 2 coordonnées. Le cube en a trois. Les points d'un carré sont des points avec deux coordonnées. Le premier va de 0 à 1. Et le second est de 0 à 1. Les points du cube ont trois coordonnées. Et chacun est un nombre de 0 à 1.

Il est logique d'imaginer qu'un cube à 4 dimensions est une telle chose avec 4 coordonnées et tout de 0 à 1.

/ * Il est également logique d'imaginer un cube à une dimension, qui n'est rien de plus qu'un simple segment de 0 à 1. * /

Alors, arrêtez, comment dessinez-vous un cube en 4 dimensions? Après tout, nous ne pouvons pas dessiner un espace en 4 dimensions sur un plan!
Mais nous ne dessinons pas non plus d'espace en 3 dimensions sur un plan, nous le dessinons projection sur le plan bidimensionnel du dessin. Nous plaçons la troisième coordonnée (z) à un angle, en imaginant que l'axe du plan du dessin va "vers nous".

Maintenant, il est assez clair comment dessiner un cube en 4 dimensions. De la même manière que nous avons placé le troisième axe à un certain angle, prenez le quatrième axe et positionnez-le également à un certain angle.
Et voila! - projection d'un cube en 4 dimensions sur un plan.

Quelle? Qu'est-ce que c'est que ça? J'entends toujours un chuchotement des bureaux arrière. Laissez-moi vous expliquer plus en détail ce qu'est ce désordre de lignes.
Regardez d'abord le cube 3D. Qu'avons-nous fait? Nous avons pris un carré et l'avons traîné le long du troisième axe (z). C'est comme beaucoup de carrés de papier collés ensemble en une pile.
C'est la même chose avec un cube en 4 dimensions. Appelons le quatrième axe «l'axe du temps» pour des raisons de commodité et à des fins de science-fiction. Nous devons prendre un cube tridimensionnel ordinaire et le faire glisser dans le temps «maintenant» au temps «en une heure».

Nous avons maintenant un cube. C'est rose sur la photo.

Et maintenant, nous le faisons glisser le long du quatrième axe - le long de l'axe du temps (je l'ai montré en vert). Et nous obtenons le cube du futur - bleu.

Chaque sommet du "cube maintenant" laisse une trace dans le temps - un segment. Reliant son présent à son avenir.

Bref, sans paroles: nous avons dessiné deux cubes identiques en 3 dimensions et connecté les sommets correspondants.
De la même manière que nous l'avons fait avec un cube en 3 dimensions (dessinez 2 cubes identiques en 2 dimensions et connectez les sommets).

Pour dessiner un cube en 5 dimensions, vous devrez dessiner deux copies du cube en 4 dimensions (un cube en 4 dimensions avec une cinquième coordonnée 0 et un cube en 4 dimensions avec une cinquième coordonnée 1) et relier les sommets correspondants avec des arêtes. Certes, un tel fouillis d'arêtes sortira dans l'avion qu'il sera presque impossible de comprendre quoi que ce soit.

Lorsque nous avons imaginé un cube en 4 dimensions et même réussi à le dessiner, nous pouvons l'explorer de quelque manière que ce soit. N'oubliez pas de l'explorer à la fois dans l'esprit et dans l'image.
Par exemple. Un cube à 2 dimensions est délimité sur 4 côtés par des cubes à 1 dimension. C'est logique: pour chacune des 2 coordonnées, elle a à la fois un début et une fin.
Un cube en 3 dimensions est délimité sur 6 côtés par des cubes en 2 dimensions. Pour chacune des trois coordonnées, il a un début et une fin.
Cela signifie qu'un cube en 4 dimensions doit être limité à huit cubes en 3 dimensions. Sur chacune des 4 coordonnées - des deux côtés. Dans l'image ci-dessus, nous voyons clairement 2 faces qui le délimitent le long de la coordonnée «temps».

Voici deux cubes (ils sont légèrement obliques car ils ont 2 dimensions projetées sur un plan à un angle), délimitant notre hyper-cube à gauche et à droite.

Il est également facile de remarquer le «haut» et le «bas».

Le plus difficile est de comprendre visuellement où se trouvent «avant» et «arrière». La face avant part de la face avant du "maintenant cube" et vers la face avant du "futur cube" - elle est rouge. Arrière, respectivement, violet.

Ils sont les plus difficiles à repérer car d'autres cubes s'emmêlent sous vos pieds, ce qui contraint l'hypercube à une coordonnée projetée différente. Mais notez que les cubes sont toujours différents! Voici une autre image, où le "cube maintenant" et le "cube futur" sont mis en évidence.

Bien sûr, vous pouvez projeter un cube en 4 dimensions dans un espace en 3 dimensions.
Le premier modèle spatial possible est clair à quoi il ressemble: vous devez prendre 2 squelettes de cube et connecter leurs sommets correspondants avec une nouvelle arête.
Je n'ai pas un tel modèle maintenant. Lors de la conférence, je montre aux étudiants un modèle en 3 dimensions légèrement différent d'un cube en 4 dimensions.

Vous savez comment un cube est projeté sur un plan comme celui-ci.
Comme si nous regardions un cube d'en haut.

La ligne la plus proche est, bien entendu, grande. Et le bord éloigné semble plus petit, nous le voyons à travers le bord proche.

C'est ainsi que vous pouvez projeter un cube en 4 dimensions. Le cube est plus grand maintenant, nous voyons le cube du futur au loin, donc il semble plus petit.

D'autre part. Du côté du haut.

Directement du côté du visage:

Du côté de la côte:

Et le dernier angle, asymétrique. De la section "Vous me dites aussi que j'ai regardé entre ses côtes."

Eh bien, alors vous pouvez trouver n'importe quoi. Par exemple, comme il y a un balayage d'un cube en 3 dimensions sur un plan (c'est ainsi que vous devez couper une feuille de papier pour obtenir un cube lors du pliage), il y a aussi un balayage d'un cube en 4 dimensions dans l'espace. C'est comme découper un morceau de bois pour qu'en le pliant dans un espace en 4 dimensions, nous obtenions un tesseract.

Vous pouvez étudier non seulement un cube à 4 dimensions, mais généralement des cubes à n dimensions. Par exemple, est-il vrai que le rayon d'une sphère circonscrite autour d'un cube à n dimensions est inférieur à la longueur du bord de ce cube? Ou, voici une question plus simple: combien de sommets a un cube à n dimensions? Combien d'arêtes (faces à une dimension)?

Si vous êtes un fan des films Avengers, la première chose qui vous vient à l'esprit lorsque vous entendez le mot «Tesseract» est le vaisseau transparent en forme de cube de la pierre de l'infini contenant un pouvoir illimité.

Pour les fans de l'univers Marvel, le Tesseract est un cube bleu brillant qui rend les gens non seulement de la Terre, mais aussi d'autres planètes deviennent fous. C'est pourquoi tous les Avengers se sont regroupés pour protéger les Terriens des forces extrêmement destructrices du Tesseract.

Cependant, il faut dire ce qui suit: Le Tesseract est un concept géométrique réel, ou plutôt une forme qui existe dans 4D. Ce n'est pas juste un cube bleu des Avengers ... c'est un vrai concept.

Tesseract est un objet en 4 dimensions. Mais avant de l'expliquer en détail, commençons par le début.

Qu'est-ce que la dimension?

Tout le monde a entendu les termes 2D et 3D, représentant respectivement des objets en deux ou trois dimensions dans l'espace. Mais qu'est-ce que c'est?

La mesure est simplement la direction dans laquelle vous pouvez aller. Par exemple, si vous dessinez une ligne sur une feuille de papier, vous pouvez aller à gauche / droite (axe x) ou haut / bas (axe y). Ainsi, on dit que le papier est bidimensionnel puisque l'on ne peut marcher que dans deux directions.

Il y a une sensation de profondeur en 3D.

Maintenant, dans le monde réel, en plus des deux directions mentionnées ci-dessus (gauche / droite et haut / bas), vous pouvez également aller de / vers. Par conséquent, une sensation de profondeur est ajoutée dans l'espace 3D. Par conséquent, nous disons que la vraie vie est en 3 dimensions.

Un point peut représenter 0 dimension (puisqu'il ne se déplace dans aucune direction), une ligne représente 1 dimension (longueur), un carré représente 2 dimensions (longueur et largeur) et un cube représente 3 dimensions (longueur, largeur et hauteur).

Prenez un cube 3D et remplacez chacune de ses faces (qui est actuellement un carré) par un cube. Et donc! La forme que vous obtenez est le tesseract.

Qu'est-ce qu'un tesseract?

En termes simples, un tesseract est un cube dans un espace à 4 dimensions. Vous pouvez également dire qu'il s'agit d'un analogue 4D d'un cube. C'est une forme 4D où chaque face est un cube.

Voici une manière simple de conceptualiser les dimensions: un carré est bidimensionnel; par conséquent, chacun de ses coins a 2 lignes s'étendant à partir de lui à un angle de 90 degrés l'une par rapport à l'autre. Le cube est en 3D, donc chacun de ses coins a 3 lignes en descendant. De même, le tesseract est une forme 4D, de sorte que chaque coin a 4 lignes qui en partent.

Pourquoi est-il difficile d'imaginer un tesseract?

Puisque nous, en tant qu'humains, avons évolué pour visualiser des objets en trois dimensions, tout ce qui entre dans des dimensions supplémentaires comme 4D, 5D, 6D, etc., n'a pas beaucoup de sens pour nous, car nous ne pouvons pas les faire du tout. imaginer. Notre cerveau ne peut pas comprendre la 4ème dimension dans l'espace. Nous ne pouvons tout simplement pas y penser.

Tesseract - hypercube à quatre dimensions - un cube dans un espace à quatre dimensions.
Selon le dictionnaire Oxford, le tesseract a été inventé et utilisé en 1888 par Charles Howard Hinton (1853-1907) dans son livre " Nouvelle ère pensées ". Plus tard, certaines personnes ont appelé la même figure un tétracube (grec τετρα - quatre) - un cube à quatre dimensions.
Un tesseract ordinaire dans l'espace 4 euclidien est défini comme la coque convexe des points (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). En d'autres termes, il peut être représenté comme l'ensemble suivant:
[-1, 1] ^ 4 \u003d ((x_1, x_2, x_3, x_4): -1 \u003d Le tesseract est borné par huit hyperplans x_i \u003d + - 1, i \u003d 1,2,3,4, dont l'intersection avec le tesseract lui-même le définit Faces 3D (qui sont des cubes ordinaires) Chaque paire de faces 3D non parallèles se croisent pour former des faces 2D (carrés), etc. Enfin, un tesseract possède 8 faces 3D, 24 faces 2D, 32 arêtes et 16 sommets.
Description populaire
Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans laisser d'espace tridimensionnel.
Dans un "espace" unidimensionnel - sur la ligne - sélectionnez un segment AB de longueur L. Sur un plan bidimensionnel à une distance L de AB, tracez un segment DC parallèle à celui-ci et connectez leurs extrémités. Le résultat est un CDBA carré. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel CDBAGHFE. Et en décalant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières) d'une distance L, on obtient l'hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.
Le segment unidimensionnel AB est le côté du carré bidimensionnel CDBA, le carré est le côté du cube CDBAGHFE, qui, à son tour, sera le côté de l'hypercube quadridimensionnel. Un segment de ligne droite a deux points limites, un carré a quatre sommets et un cube en a huit. Dans un hypercube à quatre dimensions, il y aura donc 16 sommets: 8 sommets du cube d'origine et 8 décalés dans la quatrième dimension. Il a 32 arêtes - 12 donnent chacune les positions initiale et finale du cube d'origine, et 8 arêtes supplémentaires "dessinent" huit de ses sommets, qui sont passés dans la quatrième dimension. Le même raisonnement peut être fait pour les faces de l'hypercube. Dans l'espace bidimensionnel, c'est un (le carré lui-même), le cube en a 6 (deux faces du carré déplacé et quatre autres décriront ses côtés). Un hypercube à quatre dimensions a 24 faces carrées - 12 carrés du cube original en deux positions et 12 carrés à partir de ses douze arêtes.
Comme les côtés d'un carré sont 4 segments unidimensionnels, et les côtés (faces) d'un cube sont 6 carrés bidimensionnels, donc pour un "cube quadridimensionnel" (tesseract), les côtés sont 8 cubes tridimensionnels. Les espaces des paires opposées de cubes tesseract (c'est-à-dire les espaces tridimensionnels auxquels ces cubes appartiennent) sont parallèles. Dans la figure, ce sont des cubes: CDBAGHFE et KLJIOPNM, CDBAKLJI et GHFEOPNM, EFBAMNJI et GHDCOPLK, CKIAGOME et DLJBHPNF.
De la même manière, on peut continuer le raisonnement pour des hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi ressemblera un hypercube à quatre dimensions pour nous, habitants de l'espace en trois dimensions. Utilisons la méthode d'analogie familière pour cela.
Prenez un cube de fil ABCDHEFG et regardez-le avec un œil du côté du visage. Nous verrons et pouvons dessiner deux carrés sur le plan (ses faces proche et éloignée), reliés par quatre lignes - bords latéraux. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace à trois dimensions ressemblera à deux "boîtes" cubiques insérées l'une dans l'autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les «boîtes» elles-mêmes - faces tridimensionnelles - seront projetées sur «notre» espace, et les lignes qui les relient s'étireront dans la direction du quatrième axe. Vous pouvez également essayer d'imaginer un cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.
Tout comme un cube tridimensionnel est formé par un carré décalé de la longueur d'une face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes, qui en perspective ressembleront à une figure assez complexe. Le même hypercube à quatre dimensions se compose d'un nombre infini de cubes, tout comme un cube à trois dimensions peut être «coupé» en un nombre infini de carrés plats.
Après avoir coupé les six faces d'un cube en trois dimensions, vous pouvez le développer en une forme plate - un balayage. Il aura un carré de chaque côté de la face d'origine plus un autre - la face opposée. Et le déploiement tridimensionnel de l'hypercube quadridimensionnel se composera du cube initial, six cubes "grandissant" à partir de celui-ci, plus un autre - l '"hyperface" finale.
Les propriétés Tesseract sont la continuation des propriétés des figures géométriques de dimension inférieure dans un espace à quatre dimensions.

Une image est une projection (perspective) d'un cube à quatre dimensions sur un espace à trois dimensions.

Selon le dictionnaire Oxford, le mot tesseract a été inventé et utilisé en 1888 par Charles Howard Hinton (1853-1907) dans son livre A New Age of Thought. Plus tard, certaines personnes ont appelé le même chiffre "tétracube".

Géométrie

Un tesseract ordinaire dans l'espace quadridimensionnel euclidien est défini comme l'enveloppe convexe de points (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). En d'autres termes, il peut être représenté comme l'ensemble suivant:

Le tesseract est délimité par huit hyperplans, dont l'intersection avec le tesseract lui-même définit ses faces tridimensionnelles (qui sont des cubes ordinaires). Chaque paire de faces 3D non parallèles se croisent pour former des faces 2D (carrés), et ainsi de suite. Enfin, le tesseract possède 8 faces 3D, 24 faces 2D, 32 arêtes et 16 sommets.

Description populaire

Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans laisser d'espace tridimensionnel.

Dans un "espace" unidimensionnel - sur une ligne - sélectionnez un segment AB de longueur L. Sur un plan bidimensionnel à une distance L de AB, tracez un segment DC parallèle à celui-ci et connectez leurs extrémités. Le résultat est un carré ABCD. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel ABCDHEFG. Et en décalant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières) d'une distance L, on obtient l'hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Le segment unidimensionnel AB est le côté du carré bidimensionnel ABCD, le carré est le côté du cube ABCDHEFG, qui, à son tour, sera le côté de l'hypercube quadridimensionnel. Un segment de ligne droite a deux points limites, un carré a quatre sommets et un cube en a huit. Dans un hypercube à quatre dimensions, il y aura donc 16 sommets: 8 sommets du cube d'origine et 8 décalés dans la quatrième dimension. Il a 32 arêtes - 12 donnent chacune les positions initiale et finale du cube d'origine, et 8 arêtes supplémentaires "dessinent" huit de ses sommets, qui sont passés dans la quatrième dimension. Le même raisonnement peut être fait pour les faces de l'hypercube. Dans l'espace bidimensionnel, c'est un (le carré lui-même), le cube en a 6 (deux faces du carré déplacé et quatre autres décriront ses côtés). Un hypercube à quatre dimensions a 24 faces carrées - 12 carrés du cube original en deux positions et 12 carrés à partir de ses douze arêtes.

De la même manière, on peut continuer le raisonnement pour des hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi ressemblera un hypercube à quatre dimensions pour nous, habitants de l'espace tridimensionnel. Utilisons la méthode d'analogie familière pour cela.

Déplier le tesseract

Prenez un cube de fil ABCDHEFG et regardez-le avec un œil du côté du visage. Nous verrons et pouvons dessiner deux carrés sur le plan (ses faces proche et éloignée), reliés par quatre lignes - arêtes latérales. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace à trois dimensions ressemblera à deux "boîtes" cubiques insérées l'une dans l'autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les "boîtes" elles-mêmes - des faces tridimensionnelles - seront projetées sur "notre" espace, et les lignes qui les relient s'étireront dans la quatrième dimension. Vous pouvez également essayer d'imaginer un cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.

Tout comme un cube tridimensionnel est formé par un carré décalé de la longueur d'une face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes, qui en perspective ressembleront à une figure assez complexe. La partie de celui-ci, qui est restée dans «notre» espace, est dessinée en traits pleins, et celle qui est entrée dans l'hyperespace, en pointillés. Le même hypercube à quatre dimensions se compose d'un nombre infini de cubes, tout comme un cube en trois dimensions peut être «coupé» en un nombre infini de carrés plats.

Après avoir coupé les six faces d'un cube en trois dimensions, vous pouvez le développer en une forme plate - un balayage. Il aura un carré de chaque côté de la face d'origine plus un autre - la face opposée. Et le déploiement tridimensionnel de l'hypercube quadridimensionnel se composera du cube original, six cubes "poussant" à partir de celui-ci, plus un autre - "l'hyperface" finale.

Les propriétés Tesseract sont la continuation des propriétés des figures géométriques de dimensions inférieures dans un espace à quatre dimensions.

Projection

Dans un espace bidimensionnel

Cette structure est difficile pour l'imagination, mais il est possible de projeter le tesseract dans des espaces 2D ou 3D. De plus, la projection plane permet de comprendre facilement l'emplacement des sommets de l'hypercube. Ainsi, on peut obtenir des images qui ne reflètent plus les relations spatiales au sein du tesseract, mais qui illustrent la structure des connexions de vertex, comme dans les exemples suivants:


Dans un espace tridimensionnel

La projection du tesseract sur l'espace tridimensionnel est représentée par deux cubes tridimensionnels imbriqués, dont les sommets correspondants sont reliés par des segments. Les cubes intérieurs et extérieurs ont des tailles différentes dans un espace tridimensionnel, mais dans un espace à quatre dimensions, ce sont des cubes égaux. Pour comprendre l'égalité de tous les cubes du tesseract, un modèle de tesseract rotatif a été créé.

Les six pyramides tronquées aux bords du tesseract sont des images de six cubes égaux.
Paire stéréo

Une paire stéréoscopique d'un tesseract est représentée comme deux projections sur un espace tridimensionnel. Cette image tesseract a été conçue pour représenter la profondeur comme une quatrième dimension. Une paire stéréoscopique est visualisée de sorte que chaque œil ne voit qu'une seule de ces images, une image stéréoscopique apparaît qui reproduit la profondeur du tesseract.

Déplier le tesseract

La surface d'un tesseract peut être agrandie en huit cubes (de la même manière que la surface d'un cube peut être agrandie en six carrés). Il y a 261 déroulements de tesseract différents. Le dépliage du tesseract peut être calculé en dessinant des coins connectés sur le graphique.

Tesseract dans l'art

Dans New Abbott Plains d'Edwine A., l'hypercube est le narrateur.
Dans un épisode de Les Aventures de Jimmy Neutron: Genius Boy, Jimmy invente un hypercube en quatre dimensions identique à la boîte pliante du roman de 1963 de Heinlein Road of Glory.
Robert E. Heinlein a mentionné les hypercubes dans au moins trois histoires de science-fiction. Dans The House of Four Dimensions (The House That Teale Built) (1940), il décrit une maison construite comme le déroulement d'un tesseract.
Le roman Road of Glory de Heinlein décrit un plat surdimensionné qui était plus grand à l'intérieur qu'à l'extérieur.
L'histoire de Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" décrit un jouet éducatif pour les enfants du futur lointain, de structure similaire à un tesseract.
Dans le roman d'Alex Garland (1999), le terme «tesseract» est utilisé pour un déploiement tridimensionnel d'un hypercube à quatre dimensions, et non pour l'hypercube lui-même. Il s'agit d'une métaphore conçue pour montrer que le système cognitif doit être plus large que le système connaissable.
Cube 2: Hypercube se concentre sur huit étrangers piégés dans un hypercube, ou réseau de cubes connectés.
La série télévisée Andromeda utilise des générateurs tesseract comme dispositif de conspiration. Ils sont principalement conçus pour manipuler l'espace et le temps.
Peinture "Crucifixion" (Corpus Hypercubus) de Salvador Dali (1954)
La bande dessinée Nextwave représente un véhicule qui comprend 5 zones tesseract.
Sur l'album de Voivod Nothingface, une des chansons s'intitule "In my hypercube".
Dans le roman d'Anthony Pierce "Route Cuba", l'une des lunes en orbite de l'Association internationale de développement est appelée un tesseract, qui a été compressé en 3 dimensions.
Dans la série "School" Black Hole "de la troisième saison, il y a une série" Tesseract ". Lucas appuie sur un bouton secret et l'école commence à prendre forme comme un tesseract mathématique.
Le terme "tesseract" et le terme "tesseract" qui en dérive se retrouvent dans l'histoire de Madeleine L'Engle "Le pli du temps"

domicile » Instructions » À quoi ressemble un cube développé? Cube à quatre dimensions