مکعب منبسط شده چگونه است؟ مکعب چهار بعدی

جامد هایپر مکعب و افلاطونی

ایکوزاکرون کوتاه شده ("توپ فوتبال") را در سیستم برداری شبیه سازی کنید
که در آن هر پنج ضلعی با شش ضلعی محدود شده است

ایکوزاهدرون کوتاه شده می توان با قطع 12 راس به شکل صورتهایی به صورت پنج ضلعی منظم بدست آورد. در این حالت ، تعداد رئوس چند ضلعی جدید 5 برابر افزایش می یابد (12 × 5 \u003d 60) ، 20 صورت مثلثی به شش ضلعی منظم تبدیل می شود (کل چهره ها 20 + 12 \u003d 32 می شوند) ، و تعداد لبه ها به 30 + 12 × 5 \u003d 90 افزایش می یابد.

مراحل ساخت یک icosahedron کوتاه در سیستم برداری

اشکال در فضای 4 بعدی.

--à

--à ?

به عنوان مثال ، با توجه به یک مکعب و یک ابر مکعب. در یک ابر مکعب 24 چهره وجود دارد. این بدان معنی است که یک هشت ضلعی 4 بعدی 24 راس خواهد داشت. اگرچه خیر ، یک ابر مکعب دارای 8 صورت مکعب است - هر مرکز یک راس دارد. این بدان معنی است که یک هشت ضلعی 4 بعدی دارای 8 رئوس آسانتر است.

هشت ضلعی 4 بعدی... این شامل هشت چهار ضلعی برابر و برابر است ،
در هر راس توسط چهار متصل می شود.

شکل: تلاش برای شبیه سازی
hypersphere-hypersphere در سیستم "بردار"

جلو - پشت صورت - توپ بدون اعوجاج. شش توپ دیگر - می توانید از طریق بیضوی ها یا سطوح درجه دوم (از طریق 4 خط کانتور به عنوان ژنراتور) یا از طریق چهره ها (ابتدا توسط ژنراتورها مشخص شده) مشخص کنید.

ترفندهای بیشتر برای "ساخت" یک ابر کره
- همان "توپ فوتبال" در فضای 4 بعدی

ضمیمه 2

برای چند وجهی محدب ، خاصیتی وجود دارد که تعداد رئوس ، لبه ها و صورت های آن را به هم متصل می کند ، اثبات شده در سال 1752 توسط لئونارد اولر ، و قضیه اولر نامیده می شود.

قبل از فرمول دهی ، پلی پتوهایی را که می شناسیم در نظر بگیرید و جدول زیر را پر کنید ، که در آن B تعداد رئوس ، P لبه ها و G چهره یک پلی پتو مشخص است:

از این جدول می توان مستقیماً مشاهده کرد که برای همه پلی پتهای انتخاب شده برابری B - P + Γ \u003d 2 وجود دارد. معلوم می شود که این برابری نه تنها برای این چند وجهی ها ، بلکه برای یک چند وجهی محدب دلخواه نیز معتبر است.

قضیه اولر. برای هر پلی\u200cتوپ محدب ، برابری

B - R + G \u003d 2 ،

که در آن B تعداد رئوس ، P تعداد لبه ها و G تعداد چهره های چند وجهی معین است.

شواهد و مدارک.برای اثبات این برابری ، ما سطح یک چند وجهی مشخص ساخته شده از یک ماده الاستیک را نشان می دهیم. بیایید یکی از چهره های آن را حذف کنیم (برش دهیم) و سطح باقیمانده را روی صفحه بکشیم. ما یک چند ضلعی به دست می آوریم (که توسط لبه های صورت دوردست چند وجهی شکل گرفته است) ، به چند ضلعی کوچکتر تقسیم شده است (که توسط سایر چهره های چند وجهی شکل گرفته است)

توجه داشته باشید که چند ضلعی ها می توانند در کناره های خود تغییر شکل داده ، بزرگ شوند ، کاهش یافته و یا حتی منحنی شوند ، به شرطی که اضلاع آنها شکسته نشود. این تعداد رئوس ، لبه ها و چهره ها را تغییر نمی دهد.

بگذارید ثابت کنیم که برای تقسیم حاصل از یک چند ضلعی به چند ضلعی کوچکتر ، برابر است

(*) B - R + G "\u003d 1 ،

جایی که В تعداد کل رئوس است ، Р تعداد کل لبه ها و Г "تعداد چند ضلعی های موجود در پارتیشن است. واضح است که Г" \u003d Г - 1 ، جایی که Г تعداد چهره های چند وجهی معین است.

بگذارید ثابت کنیم که اگر در چند ضلعی از پارتیشن داده شده یک مورب ترسیم شود ، برابری (*) تغییر نمی کند (شکل 5 ، a). در واقع ، پس از ترسیم چنین مورب ، پارتیشن جدید شامل رئوس B ، لبه های 1 + P خواهد بود و تعداد چند ضلعی ها یک افزایش می یابد. بنابراین ، ما داریم

B - (P + 1) + (G "+1) \u003d B - P + G" .

با استفاده از این ویژگی ، موربهایی را که چند ضلعی های ورودی را به مثلث تقسیم می کنیم ترسیم می کنیم و برای پارتیشن حاصل نشان می دهیم که برابری (*) برآورده شده است (شکل 5 ، ب). برای انجام این کار ، ما به طور مداوم لبه های خارجی را حذف می کنیم ، تعداد مثلث ها را کاهش می دهیم. در این حالت ، دو مورد امکان پذیر است:

الف) برای از بین بردن مثلث ABC در مورد ما لازم است که دو دنده را بردارید AB و قبل از میلاد مسیح;

ب) برای از بین بردن مثلثMKN در مورد ما باید یک لبه را برداریدMN.

در هر دو حالت ، برابری (*) تغییر نخواهد کرد. به عنوان مثال ، در حالت اول ، پس از حذف مثلث ، نمودار از رئوس B - 1 ، P - 2 لبه و چند ضلعی G "- 1 تشکیل خواهد شد:

(B - 1) - (R + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

مورد دوم را خودتان در نظر بگیرید.

بنابراین ، حذف یک مثلث تغییری در برابری (*) ایجاد نمی کند. با ادامه این روند حذف مثلث ، در انتها با یک پارتیشن متشکل از یک مثلث مواجه می شویم. برای چنین پارتیشن ، B \u003d 3 ، P \u003d 3 ، Γ "\u003d 1 و بنابراین ، B - P + Γ" \u003d 1. از این رو ، برابری (*) برای پارتیشن اصلی نیز صدق می کند ، از این رو سرانجام آن را برای یک پارتیشن معین از چند ضلعی بدست می آوریم برابری (*) درست است. بنابراین ، برای پلی استوپ محدب اصلی ، برابری B - P + Γ \u003d 2 درست است.

نمونه ای از چند وجهی که رابطه اولر برای آن برقرار نیست ، در شکل 6. نشان داده شده است. این چند وجهی دارای 16 رئوس ، 32 لبه و 16 صورت است. بنابراین ، برای این چند وجهی ، برابری B - P + Γ \u003d 0 برقرار است.

ضمیمه 3

Film Cube 2: Hypercube »(انگلیسی Cube 2: Hypercube) - یک فیلم خارق العاده ، ادامه فیلم" مکعب ".

هشت غریبه در اتاق های مکعبی شکل از خواب بیدار می شوند. اتاق ها درون یک ابر مکعب چهار بعدی قرار دارند. اتاق ها با "حمل و نقل کوانتومی" به طور مداوم در حال حرکت هستند و اگر به اتاق بعدی بروید ، بازگشت به اتاق قدیمی بعید است. در یک ابر مکعب ، جهان های موازی با یکدیگر تلاقی می کنند ، زمان در برخی اتاق ها به طرق مختلف جریان می یابد و برخی از اتاق ها تله مرگ هستند.

طرح تصویر تا حد زیادی تاریخچه قسمت اول را تکرار می کند ، که در تصاویر برخی از شخصیت ها نیز منعکس شده است. در اتاق های هایپر مکعب می میرد برنده جایزه نوبل روزنزویگ ، که زمان دقیق تخریب ابر مکعب را محاسبه کرده است.

انتقاد

اگر در قسمت اول افرادی که در یک هزارتوی زندانی شده اند سعی کردند به یکدیگر کمک کنند ، در این فیلم این همه انسانها برای خودش هستند. جلوه های ویژه غیرضروری زیادی وجود دارد (آنها تله هایی هستند) که منطقاً این قسمت از فیلم را با قسمت قبلی ارتباط نمی دهند. به این معناست که فیلم مکعب 2 معلوم می شود - این نوعی پیچ و خم آینده 2020-2030 است ، اما نه 2000. در قسمت اول ، انواع تله ها به لحاظ نظری می توانند توسط یک شخص ایجاد شوند. در قسمت دوم ، این تله ها یک برنامه رایانه ای است که اصطلاحاً "واقعیت مجازی" نامیده می شود.

به محض اینکه توانستم سخنرانی کنم بعد از عمل ، اولین سوالی که دانشجویان پرسیدند:

چه زمانی مکعب 4 بعدی برای ما ترسیم خواهید کرد؟ ایلیاس عبدالخاویچ به ما قول داد!

به یاد دارم که دوستان عزیزم بعضی اوقات یک لحظه برنامه آموزشی ریاضی را دوست دارند. بنابراین ، من در اینجا بخشی از سخنرانی خود را برای ریاضیدانان می نویسم. و بدون خستگی سعی خواهم کرد. البته در بعضی از موارد ، سخنرانی را دقیق تر خوانده ام.

ابتدا توافق کنیم فضای 4 بعدی و حتی بیشتر 5-6-7- و عموما k-بعدی در حس های حسی به ما داده نمی شود.
معلم مدرسه یکشنبه من ، که اولین کسی بود که به من گفت مکعب 4 بعدی چیست ، گفت: "ما بدبخت هستیم چون فقط سه بعدی هستیم." مدرسه یکشنبه البته بسیار مذهبی بود - ریاضیات. در آن زمان ما مکعب های بزرگ را مطالعه کردیم. یک هفته قبل از این ، القای ریاضی ، یک هفته بعد از آن ، چرخه های همیلتون در نمودارها - به ترتیب ، این درجه 7 است.

ما نمی توانیم مکعبی 4 بعدی را لمس کنیم ، بو کنیم ، بشنویم یا ببینیم. چه کاری می توانیم با آن انجام دهیم؟ ما می توانیم آن را تصور کنیم! زیرا مغز ما بسیار پیچیده تر از چشم و دست است.

بنابراین ، برای اینکه بفهمیم مکعب 4 بعدی چیست ، بگذارید ابتدا بفهمیم چه چیزی در دسترس ما است. مکعب 3 بعدی چیست؟

باشه باشه! من از شما یک تعریف ریاضی واضح نمی خواهم. فقط ساده ترین و رایج ترین مکعب سه بعدی را تصور کنید. آیا ارائه کرده اید؟

خوب
برای اینکه بفهمیم چگونه یک مکعب 3 بعدی را به یک فضای 4 بعدی تعمیم می دهیم ، بیایید بفهمیم مکعب 2 بعدی چیست. بنابراین ساده است - یک مربع است!

مربع دارای 2 مختصات است. مکعب دارای سه است. نقاط یک مربع نقاطی با دو مختصات هستند. اولی از 0 تا 1. و دومی از 0 تا 1. نقاط مکعب دارای سه مختصات است. و هر کدام از هر عدد از 0 تا 1 است.

منطقی است که تصور کنیم مکعب 4 بعدی با 4 مختصات و همه چیز از 0 تا 1 چنین چیزی است.

/ * همچنین تصور یک مکعب 1 بعدی منطقی است ، که چیزی بیشتر از یک بخش ساده از 0 تا 1 نیست. * /

بنابراین ، متوقف شوید ، چگونه مکعبی 4 بعدی ترسیم می کنید؟ به هر حال ، ما نمی توانیم فضای 4 بعدی را در هواپیما ترسیم کنیم!
اما ما همچنین فضای 3 بعدی را در صفحه ترسیم نمی کنیم ، بلکه آن را ترسیم می کنیم فرافکنی روی صفحه 2 بعدی نقاشی. مختصات سوم (z) را در یک زاویه قرار می دهیم ، تصور می کنیم که محور از صفحه نقاشی "به سمت ما" می رود.

اکنون نحوه ترسیم مکعب 4 بعدی کاملاً روشن است. به همان روشی که محور سوم را در یک زاویه مشخص قرار دادیم ، محور چهارم را گرفته و در زاویه خاصی نیز قرار می دهیم.
و voila! - طرح یک مکعب 4 بعدی بر روی صفحه.

چی؟ به هر حال این چیست؟ من همیشه از پشت میزها زمزمه می شنوم. بگذارید با جزئیات بیشتر توضیح دهم که این آشفتگی خط چیست.
ابتدا به مکعب 3D نگاه کنید. ما چه کرده ایم؟ یک مربع گرفتیم و آن را در امتداد محور سوم (z) کشیدیم. مثل بسیاری از مربع های کاغذی است که در یک توده به هم چسبیده اند.
مکعب 4 بعدی نیز همینطور است. بیایید برای راحتی و اهداف علمی تخیلی ، محور چهارم را "محور زمان" بنامیم. ما باید یک مکعب سه بعدی معمولی بگیریم و از زمان "اکنون" به زمان "در یک ساعت" به موقع بکشیم.

ما اکنون یک مکعب داریم. در تصویر صورتی است.

و اکنون آن را در امتداد محور چهارم - در امتداد محور زمان می کشیم (من آن را به رنگ سبز نشان دادم). و ما مکعب آینده را دریافت می کنیم - آبی.

هر راس "اکنون مکعب" در زمان - یک بخش - ردی از خود برجای می گذارد. ارتباط حال او با آینده اش.

به طور خلاصه ، بدون شعر: ما دو مکعب 3 بعدی یکسان کشیدیم و رئوس مربوطه را به هم متصل کردیم.
به همان روشی که با مکعب 3 بعدی انجام دادیم (2 مکعب 2 بعدی یکسان بکشید و رئوس را بهم وصل کنید).

برای ترسیم مکعب 5 بعدی باید دو نسخه از مکعب 4 بعدی (مکعب 4 بعدی با مختصات پنجم 0 و مکعب 4 بعدی با مختصات پنجم 1) رسم کنید و رئوس مربوطه را با لبه ها متصل کنید. درست است ، چنان لبه ای از لبه ها در هواپیما ظاهر می شود که درک هر چیزی تقریباً غیرممکن خواهد بود.

وقتی یک مکعب 4 بعدی را تصور کردیم و حتی موفق به کشیدن آن شدیم ، به هر روشی می توانیم آن را کشف کنیم. فراموش نکنید که هم در ذهن و هم در تصویر آن را کشف کنید.
مثلا. یک مکعب 2 بعدی از 4 طرف به مکعب های 1 بعدی محدود می شود. این منطقی است: برای هر یک از 2 مختصات ، هم یک آغاز دارد و هم یک پایان.
یک مکعب 3 بعدی از 6 طرف به مکعب های 2 بعدی محدود می شود. برای هر یک از سه مختصات ، یک آغاز و یک پایان دارد.
این بدان معنی است که یک مکعب 4 بعدی باید به هشت مکعب 3 بعدی محدود شود. در هر یک از 4 مختصات - در هر دو طرف. در تصویر بالا ، ما به وضوح 2 چهره را می بینیم که آن را در طول مختصات "زمان" محدود می کنند.

در اینجا دو مکعب وجود دارد (آنها کمی مایل هستند زیرا دارای 2 بعد از یک زاویه بر روی صفحه هستند) ، مکعب بزرگ ما را به چپ و راست محدود می کند.

همچنین می توان به راحتی متوجه "بالا" و "پایین" شد.

دشوارترین چیز این است که از لحاظ بصری درک کنیم که "جلو" و "عقب" کجا هستند. جلوی آن از چهره جلوی "اکنون مکعب" شروع می شود و تا چهره جلوی "مکعب آینده" - قرمز است. عقب ، به ترتیب ، بنفش.

تشخیص آنها سخت ترین است زیرا مکعب های دیگر زیر پایتان گره می خورند ، که ابر مکعب را در مختصات پیش بینی شده دیگری محدود می کند. اما توجه داشته باشید که مکعب ها هنوز هم متفاوت هستند! در اینجا تصویر دیگری وجود دارد ، جایی که "مکعب اکنون" و "مکعب آینده" برجسته شده است.

البته می توانید یک مکعب 4 بعدی را در فضای 3 بعدی پیش بینی کنید.
اولین مدل فضایی ممکن ، شکل ظاهری آن مشخص است: شما باید 2 اسکلت مکعب بردارید و رئوس مربوطه را با یک لبه جدید وصل کنید.
من الان چنین مدلی ندارم. در سخنرانی ، من یک مدل 3 بعدی از مکعب 4 بعدی را به دانشجویان نشان می دهم.

شما می دانید که چگونه یک مکعب بر روی هواپیمایی مانند این قرار می گیرد.
گویی از بالا به مکعبی نگاه می کنیم.

نزدیکترین خط البته بزرگ است. و لبه دورتر کوچکتر به نظر می رسد ، ما آن را از طریق لبه نزدیک می بینیم.

به این ترتیب می توانید یک مکعب 4 بعدی را پیش بینی کنید. مکعب اکنون بزرگتر است ، ما مکعب آینده را از دور می بینیم ، بنابراین کوچکتر به نظر می رسد.

از سوی دیگر. از طرف بالا.

مستقیم از کنار صورت:

از کنار دنده:

و آخرین زاویه ، نامتقارن است. از بخش "شما همچنین به من بگویید که من بین دنده های او نگاه کردم."

خوب ، پس شما می توانید به هر چیزی برسید. به عنوان مثال ، همانطور که یک مکعب 3 بعدی در هواپیما توسعه می یابد (اینگونه شما باید یک ورق کاغذ ببرید تا هنگام مکش مکعب بدست آورید) ، یک مکعب 4 بعدی نیز به فضا اسکن می شود. این مثل بریدن یک تکه چوب است تا با جمع کردن آن در فضای 4 بعدی ، یک مسیریابی بدست آوریم.

شما می توانید نه تنها یک مکعب 4 بعدی ، بلکه به طور کلی مکعب های n بعدی را مطالعه کنید. به عنوان مثال ، آیا درست است که شعاع کره ای که در اطراف یک مکعب n بعدی قرار دارد از طول لبه این مکعب کمتر است؟ یا ، در اینجا یک سوال ساده تر وجود دارد: یک مکعب n بعدی چند رئوس دارد؟ چند لبه (چهره های 1 بعدی)؟

اگر از طرفداران فیلم های انتقام جویان هستید ، اولین چیزی که با شنیدن کلمه "Tesseract" به ذهن شما خطور می کند ، ظرف شفاف مکعبی شکل سنگ بی نهایت است که حاوی قدرت بی حد و حصر است.

برای طرفداران دنیای مارول ، Tesseract یک مکعب آبی درخشان است که مردم را نه تنها از زمین ، بلکه سیارات دیگر نیز دیوانه می کند. به همین دلیل است که تمام انتقام جویان برای محافظت از زمینی ها در برابر نیروهای بسیار مخرب Tesseract با هم متحد شده اند.

با این حال ، موارد زیر باید گفته شود: Tesseract یک مفهوم هندسی واقعی یا بهتر بگوییم ، شکلی است که به صورت 4 بعدی وجود دارد. این فقط یک مکعب آبی از انتقام جویان نیست ... بلکه یک مفهوم واقعی است.

Tesseract جسمی است در 4 بعد. اما قبل از اینکه آن را به طور مفصل توضیح دهیم ، بیایید از همان ابتدا شروع کنیم.

بعد چیست؟

همه اصطلاحات 2D و 3D را شنیده اند که به ترتیب نمایانگر اجسام دو بعدی یا سه بعدی در فضا هستند. اما اینها چیست؟

اندازه گیری به سادگی جهتی است که می توانید بروید. به عنوان مثال ، اگر روی یک قطعه کاغذ خط می کشید ، می توانید به چپ / راست (محور x) یا بالا / پایین (محور y) بروید. بنابراین ، می گوییم کاغذ دو بعدی است ، زیرا شما فقط می توانید در دو جهت قدم بزنید.

احساس عمق در 3D وجود دارد.

اکنون ، در دنیای واقعی ، علاوه بر دو جهت ذکر شده در بالا (چپ / راست و بالا / پایین) ، می توانید به / از نیز بروید. از این رو ، حس عمق در فضای سه بعدی اضافه می شود. بنابراین ، می گوییم زندگی واقعی 3 بعدی است.

یک نقطه می تواند 0 بعد را نشان دهد (از آنجا که در هیچ جهتی حرکت نمی کند) ، یک خط نشان دهنده 1 بعد (طول) ، یک مربع نشان دهنده 2 بعد (طول و عرض) و یک مکعب نشان دهنده 3 بعد (طول ، عرض و ارتفاع) است.

یک مکعب سه بعدی بردارید و هر صورت (که در حال حاضر یک مربع است) را با یک مکعب جایگزین کنید. و همینطور! شکلی که شما بدست می آورید گوی است.

Tesseract چیست؟

به زبان ساده ، tesseract یک مکعب در فضای 4 بعدی است. همچنین می توانید بگویید که آنالوگ 4D یک مکعب است. این یک شکل 4 بعدی است که در آن هر صورت مکعب است.

در اینجا یک روش ساده برای تصور کردن ابعاد وجود دارد: مربع دو بعدی است. بنابراین ، هر گوشه آن دارای 2 خط است که از آن با زاویه 90 درجه به یکدیگر امتداد دارد. مکعب سه بعدی است ، بنابراین هر گوشه آن 3 خط از آن پایین می آید. به همین ترتیب ، tesseract یک شکل 4 بعدی است ، بنابراین هر گوشه دارای 4 خط از آن است.

چرا تصور یک عمل سخت دشوار است؟

از آنجایی که ما به عنوان انسان برای تجسم اشیا در سه بعد پیشرفت کرده ایم ، هر چیزی که به ابعاد دیگری مانند 4D ، 5D ، 6D و غیره برسد ، برای ما چندان منطقی نیست ، زیرا ما به هیچ وجه نمی توانیم آنها را انجام دهیم. تصور کن. مغز ما نمی تواند بعد 4 را در فضا درک کند. ما فقط نمی توانیم در مورد آن فکر کنیم.

Tesseract - ابر مکعب چهار بعدی - مکعبی در فضای چهار بعدی.
بر اساس فرهنگ لغت آکسفورد ، tesseract در سال 1888 توسط چارلز هوارد هینتون (1903-1853) در کتاب خود " عصر جدید اندیشه ها ". بعداً ، بعضی از افراد همان شکل را tetracube (یونانی τετρα - چهار) - مکعبی چهار بعدی نامیدند.
یک تسارکت معمولی در 4-فضای اقلیدسی به عنوان پوسته محدب نقاط (± 1 ، ± 1 ، ± 1 ، ± 1) تعریف می شود. به عبارت دیگر ، می توان آن را به عنوان مجموعه زیر نشان داد:
[-1 ، 1] ^ 4 \u003d ((x_1 ، x_2 ، x_3 ، x_4): -1 \u003d مساحت با هشت ابر هواپیما محدود می شود x_i \u003d + - 1 ، i \u003d 1،2،3،4 ، تقاطع آن با خود ماسوره آن را تعریف می کند چهره های سه بعدی (که مکعب های معمولی هستند) هر جفت چهره سه بعدی غیر موازی با یکدیگر تلاقی می کنند و چهره های دو بعدی (مربع ها) و غیره را تشکیل می دهند و در آخر ، یک tesseract دارای 8 صورت 3D ، 24 صورت 2D ، 32 لبه و 16 رئوس است.
شرح محبوب
بیایید سعی کنیم تصور کنیم یک ابر مکعب بدون ترک فضای سه بعدی چگونه به نظر می رسد.
در یک "فضای" یک بعدی - روی خط - یک قطعه AB به طول L. انتخاب کنید. در یک صفحه دو بعدی با فاصله L از AB ، یک قطعه DC به موازات آن رسم کرده و انتهای آنها را به هم متصل کنید. نتیجه یک CDBA مربع است. با تکرار این عملیات با هواپیما ، یک مکعب سه بعدی CDBAGHFE بدست می آوریم. و با تغییر مکعب در بعد چهارم (عمود بر سه حالت اول) با فاصله L ، مکعب CDBAGHFEKLJIOPNM بدست می آید.
قطعه یک بعدی AB ضلع CDBA مربع دو بعدی است ، مربع سمت مکعب CDBAGHFE است که به نوبه خود ، طرف ابر مکعب چهار بعدی خواهد بود. یک قطعه خط مستقیم دارای دو نقطه مرزی ، یک مربع دارای چهار رئوس و یک مکعب دارای هشت نقطه است. بنابراین ، در یک ابر مکعب چهار بعدی 16 رأس وجود دارد: 8 رأس مکعب اصلی و 8 رأس در بعد چهارم. این دارای 32 لبه است - هر کدام 12 موقعیت اولیه و نهایی مکعب اصلی را دارند و 8 لبه دیگر هشت رئوس آن را "ترسیم می کنند" که به بعد چهارم منتقل شده اند. همان استدلال را می توان برای چهره های ابر مکعب نیز انجام داد. در فضای دو بعدی ، یکی است (مربع خودش) ، مکعب 6 تا دارد (دو وجه از مربع منتقل شده و چهار وجه دیگر اضلاع آن را توصیف می کند). یک ابر مکعب چهار بعدی دارای 24 صورت مربع است - 12 مربع مکعب اصلی در دو موقعیت و 12 مربع از دوازده لبه آن.
از آنجایی که اضلاع یک مربع 4 بخش یک بعدی است و اضلاع (چهره) یک مکعب 6 مربع دو بعدی است ، بنابراین برای یک "مکعب چهار بعدی" (tesseract) ، اضلاع آن 8 مکعب سه بعدی است. فضاهای جفتهای مخالف مکعب سه بعدی (یعنی فضاهای سه بعدی که این مکعبها به آنها تعلق دارند) موازی هستند. در شکل ، این مکعب ها هستند: CDBAGHFE و KLJIOPNM ، CDBAKLJI و GHFEOPNM ، EFBAMNJI و GHDCOPLK ، CKIAGOME و DLJBHPNF.
به روشی مشابه ، ما می توانیم استدلال را برای ابر مکعب هایی با تعداد بیشتر ابعاد ادامه دهیم ، اما جالب است که ببینیم یک ابر مکعب چهار بعدی برای ما ساکنان فضای سه بعدی چگونه به نظر می رسد. بیایید از روش تشبیه آشنا برای این کار استفاده کنیم.
یک مکعب سیم ABCDHEFG بردارید و از کنار صورت با یک چشم به آن نگاه کنید. ما می توانیم دو مربع را در صفحه (صورت نزدیک و دور آن) ، که توسط چهار خط - لبه های جانبی به هم متصل شده اند ، رسم کنیم. به همین ترتیب ، یک ابر مکعب چهار بعدی در فضای سه بعدی مانند دو "جعبه" مکعبی داخل یکدیگر قرار می گیرد و توسط هشت لبه به هم متصل می شود. در این حالت ، خود "جعبه ها" - صورتهای سه بعدی - بر روی فضای "ما" قرار می گیرند و خطوط متصل آنها در جهت محور چهارم کشیده می شوند. همچنین می توانید مکعبی را نه در فرافکنی ، بلکه در یک تصویر فضایی تصور کنید.
همانطور که یک مکعب سه بعدی توسط یک مربع منتقل شده با طول یک صورت تشکیل می شود ، یک مکعب که به بعد چهارم منتقل شده است یک ابر مکعب تشکیل می دهد. این توسط هشت مکعب محدود می شود ، که از منظر یک شکل نسبتاً پیچیده به نظر می رسد. همان ابر مکعب چهار بعدی همان تعداد مکعب بی نهایت را شامل می شود ، همانطور که می توان یک مکعب سه بعدی را به تعداد نامحدود مربع های مسطح "برش" داد.
پس از برش شش صورت یک مکعب سه بعدی ، می توانید آن را به شکل تخت - یک رفت و برگشت گسترش دهید. این یک مربع در هر طرف چهره اصلی دارد ، به علاوه یک چهره دیگر ، چهره مقابل. و باز شدن سه بعدی ابر مکعب چهار بعدی از مکعب اولیه تشکیل می شود ، شش مکعب از آن رشد می کند ، به علاوه یک مکعب دیگر - "ابر سطح" نهایی.
خواص Tesseract ادامه خواص ارقام هندسی ابعاد پایین تر به فضای چهار بعدی است.

تصویر ، فرافکنی (پرسپکتیو) یک مکعب چهار بعدی بر روی فضای سه بعدی است.

طبق دیکشنری آکسفورد ، کلمه tesseract در سال 1888 توسط چارلز هوارد هینتون (1903-1853) در کتاب خود عصر جدید اندیشه ابداع و استفاده شد. بعداً ، برخی از افراد به همان شکل "tetracube" می گفتند.

هندسه

یک عمل تصادفی معمولی در فضای چهار بعدی اقلیدسی به عنوان پوسته محدب نقاط (± 1 ، ± 1 ، ± 1 ، ± 1) تعریف می شود. به عبارت دیگر ، می توان آن را به عنوان مجموعه زیر نشان داد:

مسطح توسط هشت ابر هواپیما محدود می شود که تقاطع آن با خود مساحت چهره های سه بعدی آن را مشخص می کند (که مکعب های معمولی هستند). هر جفت چهره سه بعدی غیر موازی با هم تلاقی می کنند تا چهره های دو بعدی (مربع) و غیره تشکیل دهند. سرانجام ، tesseract دارای 8 چهره سه بعدی ، 24 چهره 2 بعدی ، 32 لبه و 16 رئوس است.

شرح محبوب

بیایید سعی کنیم تصور کنیم یک ابر مکعب بدون ترک فضای سه بعدی چگونه به نظر می رسد.

در یک "فضای" یک بعدی - روی خط - یک قطعه AB به طول L. انتخاب کنید. در یک صفحه دو بعدی با فاصله L از AB ، یک قطعه DC به موازات آن رسم کرده و انتهای آنها را به هم متصل کنید. نتیجه یک ABCD مربع است. با تکرار این عملیات با هواپیما ، یک مکعب سه بعدی ABCDHEFG بدست می آوریم. و با تغییر مکعب در بعد چهارم (عمود بر سه حالت اول) با فاصله L ، ابر مکعب ABCDEFGHIJKLMNOP بدست می آوریم.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

قطعه یک بعدی AB ضلع مربع دو بعدی ABCD است ، مربع کنار مکعب ABCDHEFG است ، که به نوبه خود ، طرف ابر مکعب چهار بعدی خواهد بود. یک قطعه خط مستقیم دارای دو نقطه مرزی ، یک مربع دارای چهار رئوس و یک مکعب دارای هشت نقطه است. بنابراین ، در یک ابر مکعب چهار بعدی 16 رأس وجود دارد: 8 رأس مکعب اصلی و 8 رأس در بعد چهارم. این دارای 32 لبه است - هر کدام 12 موقعیت اولیه و نهایی مکعب اصلی را دارند و 8 لبه دیگر هشت رئوس آن را "ترسیم می کنند" که به بعد چهارم منتقل شده اند. همان استدلال را می توان برای چهره های ابر مکعب نیز انجام داد. در فضای دو بعدی ، یکی است (مربع خودش) ، مکعب 6 تا دارد (دو چهره از مربع منتقل شده و چهار صورت دیگر اضلاع آن را توصیف می کند). یک ابر مکعب چهار بعدی دارای 24 صورت مربع است - 12 مربع مکعب اصلی در دو موقعیت و 12 مربع از دوازده لبه آن.

به روشی مشابه ، ما می توانیم استدلال برای ابر مکعب های دارای ابعاد بیشتر را ادامه دهیم ، اما جالب است که ببینیم یک ابر مکعب چهار بعدی برای ما ساکنان فضای سه بعدی چگونه به نظر می رسد. بیایید از روش تشبیه آشنا برای این کار استفاده کنیم.

باز کردن tesseract

یک مکعب سیم ABCDHEFG بردارید و از کنار صورت با یک چشم به آن نگاه کنید. خواهیم دید و می توانیم دو مربع در صفحه (صورت نزدیک و دور آن) ، که توسط چهار خط - لبه های جانبی متصل شده است ، رسم کنیم. به همین ترتیب ، یک ابر مکعب چهار بعدی در فضای سه بعدی مانند دو "جعبه" مکعبی داخل یکدیگر قرار می گیرد و توسط هشت لبه به هم متصل می شود. در این حالت ، خود "جعبه ها" - چهره های سه بعدی - بر روی فضای "ما" قرار می گیرند و خطوط متصل آنها در بعد چهارم کشیده می شود. همچنین می توانید مکعبی را نه در فرافکنی ، بلکه در یک تصویر فضایی تصور کنید.

همانطور که یک مکعب سه بعدی توسط یک مربع منتقل شده با طول یک صورت تشکیل می شود ، یک مکعب که به بعد چهارم منتقل شده است یک ابر مکعب تشکیل می دهد. این توسط هشت مکعب محدود می شود ، که از منظر یک شکل نسبتاً پیچیده به نظر می رسد. بخشی از آن ، که در فضای "ما" باقی مانده است ، با خطوط جامد ترسیم شده است ، و آنچه که به فضای بیش از حد رسیده است ، با خطوط نقطه ای. همان ابر مکعب چهار بعدی همان تعداد مکعب بی نهایت را شامل می شود ، همانطور که می توان یک مکعب سه بعدی را به تعداد نامحدود مربع های مسطح "برش" داد.

پس از برش شش صورت مکعب سه بعدی ، می توانید آن را به شکل تخت - یک رفت و برگشت گسترش دهید. این یک مربع در هر طرف چهره اصلی به علاوه یک چهره دیگر دارد - چهره مقابل آن. و باز شدن سه بعدی ابر مکعب چهار بعدی از مکعب اصلی تشکیل می شود ، شش مکعب از آن رشد می کند ، به علاوه یک مکعب دیگر - "ابر سطح" نهایی.

خصوصیات تسراکت ادامه خواص شکل های هندسی با ابعاد پایین تر به فضای چهار بعدی است.

پروجکشن

به فضای دو بعدی

این ساختار برای تصور دشوار است ، اما می توان پروژه را به فضاهای 2D یا 3D طراحی کرد. علاوه بر این ، فرافکنی به صفحه فهم محل راس های ابر مکعب را آسان می کند. به این ترتیب می توان تصاویری بدست آورد که دیگر روابط فضایی درون گور را منعکس نمی کنند ، اما ساختار اتصالات رأس را نشان می دهند ، مانند مثالهای زیر:


به فضای سه بعدی

فرافکنی تاشو به فضای سه بعدی توسط دو مکعب سه بعدی تو در تو نشان داده می شود که رئوس مربوطه توسط بخشهایی به هم متصل می شوند. مکعب های داخلی و خارجی در فضای سه بعدی اندازه های متفاوتی دارند اما در فضای چهار بعدی مکعب های مساوی هستند. برای درک تساوی همه مکعب های tesseract ، یک مدل tesseract دوار ایجاد شد.

شش هرم کوتاه در لبه های tesseract تصاویری از شش مکعب برابر است.
جفت استریو

یک جفت استریو به عنوان دو پیش بینی بر روی فضای سه بعدی به تصویر کشیده شده است. این تصویر tesseract برای نشان دادن عمق به عنوان بعد چهارم طراحی شده است. یک جفت استریو مشاهده می شود به طوری که هر چشم فقط یکی از این تصاویر را می بیند ، یک تصویر استریوسکوپی ظاهر می شود که عمق قدمت را تولید می کند.

باز کردن tesseract

سطح یک گلدسته را می توان به هشت مکعب گسترش داد (شبیه به این که سطح یک مکعب را می توان به شش مربع گسترش داد). 261 مورد مختلف وجود دارد. باز شدن مسطح را می توان با رسم گوشه های متصل به نمودار محاسبه کرد.

تسراکت در هنر

در New Abbott Plain ادوین A. ، ابر مکعب قصه گو است.
در یک قسمت از ماجراهای جیمی نوترون: پسر نابغه جیمی یک ابر مکعب چهار بعدی یکسان با جعبه جعبه از رمان جاده جلال هاینلین در سال 1963 ابداع می کند.
رابرت ای. هاین لاین حداقل در سه داستان علمی تخیلی به ابر مکعب اشاره کرده است. وی در خانه چهاربعدی (خانه ای که قصه ساخته است) (1940) ، خانه ای را که به عنوان یک آشفتگی از کلاهبرداری ساخته شده توصیف کرد.
رمان جاده افتخار هایلین یک ظرف بزرگ را توصیف می کند که از داخل نسبت به بیرون بزرگتر بود.
داستان هنری كوتنر با عنوان "Mimsy Were the Borogoves" یك اسباب بازی آموزشی را برای كودكان از آینده دور توصیف می كند ، از نظر ساختاری شبیه كاری دیگر.
در رمان الکس گارلند (1999) ، اصطلاح "tesseract" برای باز شدن سه بعدی یک ابر مکعب چهار بعدی و نه خود ابر مکعب استفاده شده است. این استعاره ای است که نشان می دهد سیستم شناخت باید گسترده تر از سیستم قابل شناخت باشد.
مکعب 2: هایپر مکعب روی هشت غریبه گرفتار در یک مکعب بزرگ یا شبکه ای از مکعب های متصل متمرکز است.
مجموعه تلویزیونی آندرومدا از ژنراتورهای tesseract به عنوان وسیله توطئه استفاده می کند. آنها در درجه اول برای دستکاری مکان و زمان طراحی شده اند.
نقاشی "مصلوب شدن" (Corpus Hypercubus) توسط سالوادور دالی (1954)
کتاب کمیک Nextwave وسیله نقلیه ای را به تصویر می کشد که شامل 5 منطقه تحت فشار است.
در آلبوم Voivod Nothingface ، یکی از آهنگ ها "In my hypercube" نام دارد.
در رمان آنتونی پیرس "مسیر کوبا" یکی از قمرهای در حال چرخش انجمن توسعه بین المللی قاصدک نامیده می شود که در 3 بعد فشرده شده است.
در سریال "مدرسه" سیاه چاله "در فصل سوم یک سریال" Tesseract "وجود دارد. لوکاس یک دکمه مخفی را فشار می دهد و مدرسه مانند یک مدرسه ریاضی شکل می گیرد.
اصطلاح "tesseract" و اصطلاح "tesseract" که از آن گرفته شده است ، در داستان "The fold of Time" مادلین L'Engle یافت می شود

خانه » دستورالعمل ها » مکعب منبسط شده چگونه است؟ مکعب چهار بعدی